Getriebener harmonischer Oszillator

Schließlich beschäftigen wir uns noch mit der Frage, wie ein harmonisch gebundener Körper unter Berücksichtigung der Reibung sich unter einer vorgegebenen von außen eingeprägten Kraft $F_{\text{ext}}(t)$ verhält. Schreiben wir zur Abkürzung $a(t)=F_{\text{ext}}(t)/m$ , lautet die zu lösende Bewegungsgleichung

$$\ddot{x}(t)+2 \alpha \dot{x}(t) + \omega_0^2 x(t)=a(t).$$ (1.2.27)

Nehmen wir nun an, wir hätten zwei Lösungen $x_1$ und $x_2$ dieser Gleichung gefunden und bilden $y=x_1-x_2$ . Wegen der Linearität der Differentialgleichung erfüllt $y$ die oben gelöste Gleichung für die Bewegung ohne äußere Kraft (die homogene Gleichung), d.h. wir müssen nur eine einzige spezielle Lösung der obigen Gleichung finden, denn wir besitzen ja bereits die vollständige Lösung für die homogene Gleichung.

Besonders bequem ist diejenige spezielle Lösung $x_i$ , die die Anfangsbedingungen

$$x_i(t)=0, \quad \dot{x}_i(t)=0.$$ (1.2.28)

Wegen der Linearität der Gleichung können wir weiter davon ausgehen, daß diese Lösung linear in der eingeprägten Kraft sein wird. Weiter kann die Lösung zur Zeit $t$ aufgrund des Kausalitätsprinzip nur von Werten von $a(t)$ zu Zeiten $t'<t$ abhängen. Das führt uns zu dem Ansatz

$$x_i(t)=\int_0^{t} \dd t' G(t,t') a(t').$$ (1.2.29)

Setzen wir diesen Ansatz in die Differentialgleichung (1.2.28) ein, folgt

$$\int_0^t \dd t' (\partial_t^2 + 2 \alpha \partial_t+\omega_0^2) G(t,t') a(t')=a(t).$$ (1.2.30)

Damit muß $G(t,t')$ der inhomogenen Gleichung mit einer $\delta$ -Distribution als eingeprägter Kraft genügen:

$$(\partial_t^2 + 2 \alpha \partial_t+\omega_0^2) G(t,t')=\delta(t-t').$$ (1.2.31)

Man bezeichnet $G$ als die zu dem linearen Differentialoperator in der Klammer gehörige Green-Funktion.

Die rechte Seite hängt nur von der Differenz der Zeiten $t-t'$ ab, so daß wir zur Lösung dieser Gleichung den Ansatz

$$G(t,t')=g(t-t')$$ (1.2.32)

machen können. Dann muß aber gelten

$$(\partial_t^2 + 2 \alpha \partial_t+\omega_0^2) g(t)=\delta(t).$$ (1.2.33)

Um die Anfangsbedingung (1.2.28) zu erfüllen, muß offenbar

$$g(t)=0 \quad t<0$$ (1.2.34)

gelten. Für $t>0$ ist aber $\delta(t)=0$ , und $g$ erfüllt die homogene Gleichung.

Wir schließen zunächst den aperiodischen Grenzfall aus, d.h. wir nehmen an $\alpha \neq \omega_0$ . Damit muß gemäß der oben hergeleiteten Lösungen gelten

$$g(t)=\begin{cases}0 & \text{falls} \quad t<0 \ A \exp(\lambda_1 t)+B \exp(\lambda_2 t) & \text{falls} \quad t>0. \end{cases}$$ (1.2.35)

mit den beiden reellen oder zueinander konjugiert komplexen Werten 1.2.19. Aufgrund der Anfangsbedingung muß nun offenbar $g(0^+)=0$ , d.h. $B=-A$ gelten, d.h. $g$ ist in $t=0$ stetig. Um nun auch $A$ bestimmen zu können benötigen wir eine Bedingung an $g'(t)$ für $t \rightarrow 0^+$ . Um diese zu erhalten, müssen wir nur die Differentialgleichung (1.2.33) über ein Intervall $(-\epsilon,\epsilon)$ für ein beliebiges $\epsilon>0$ integrieren und dann $\epsilon \rightarrow 0^+$ zu führen. Das liefert wegen (1.2.35)

$$g'(0^+)=A(\lambda_1-\lambda_2) =2 A \sqrt{\alpha^2-\omega_0^2} \stackrel{!}{=}1.$$ (1.2.36)

Es ist also

$$A=\frac{1}{2 \sqrt{\alpha^2-\omega_0^2}}.$$ (1.2.37)

Damit ist also

$$g(t)=\frac{\Theta(t)}{2 \sqrt{\alpha^2-\omega_0^2}} [\exp(\lambda_1 t)-\exp(\lambda_2 t)].$$ (1.2.38)

Dabei haben wir die Heavisidesche Einheitssprungfunktion

$$\Theta(t):=\begin{cases}0 & \text{f\uml {u}r} \quad t<0, \ 1/2 & \text{f\uml {u}r} \quad t=0,\ 1 & \text{f\uml {u}r} \quad t>0. \end{cases}$$ (1.2.39)

Dabei ist die Wahl des Wertes für $t=1/2$ für unsere jetzige Anwendung irrelevant. Die eben getroffene Festlegung erweist sich aber im Zusammenhang mit Fourier-Reihen als bequem (vgl. z.B. [CH10]). Für den überdämpften bzw. den Schwingfall erhalten wir aus (1.2.38) unter erneuter Anwendung von (1.2.19)

$$g(t)=\frac{\Theta(t)}{\sqrt{\vert\alpha^2-\omega_0^2\vert}} \exp(... ...t \sqrt{\omega_0^2-\alpha^2}) & \text{falls} \quad \alpha<\omega_0. \end{cases}$$ (1.2.40)

Dabei haben wir die Beziehungen

$$\sinh z=\frac{\exp z-\exp(-z)}{2}, \quad \sin z=\frac{\exp(\ii z)-\exp(-\ii z)}{2 \ii}$$ (1.2.41)

verwendet.

Die Greensche Funktion für den aperiodischen Grenzfall $\omega_0=\alpha$ erhalten wir wieder, indem wir in (1.2.40) den Grenzübergang $\omega_0 \rightarrow \alpha$ bilden:

$$g(t)=\Theta(t) t \exp(-\alpha t) \quad \omega_0=\alpha.$$ (1.2.42)