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Der harmonisch getriebene gedämpfte Oszillator
Wir schließen unsere Betrachtung der harmonischen Oszillatoren mit der
Behandlung der Bewegungsgleichung für den Fall, daß zusätzlich zur
Reibungs- und harmonischen Kraft noch eine zeitabhängige äußere
treibende Kraft an dem Massenpunkt angreift. Dabei beschränken
wir uns auf den Fall einer harmonischen Zeitabhängigkeit der
äußeren Kraft. Die Bewegungsgleichung lautet dann
 |
(1.4.1) |
Dies in die Normalform für lineare Differentialgleichungen 2. Ordnung
gebracht liefert die inhomogene Gleichung
 |
(1.4.2) |
Wir bemerken als erstes, daß wegen der Linearität des
Differentialoperators auf der linken Seite die Differenz zweier
Lösungen dieser inhomogenen Gleichung wieder die homogene Gleichung
löst. Die allgemeine Lösung der inhomogenen Gleichung ist also durch
die Summe aus der allgemeinen Lösung der homogenen Gleichung und einer
beliebigen speziellen Lösung der inhomogenen Gleichung gegeben:
 |
(1.4.3) |
Dabei sind
und
beliebige zueinander linear unabhängige
Lösungen der homogenen Differentialgleichung, die wir im vorigen
Abschnitt für die drei Fälle (Schwingfall, Kriechfall, aperiodischer
Grenzfall) gefunden haben:
 |
(1.4.4) |
Dabei ist im Schwingfall
und im
Kriechfall
.
Diese Lösungen werden allesamt für
(bzw. im
Kriechfall für
) exponentiell weggedämft
werden. Für große Zeiten wird die Lösung also durch die spezielle
Lösung der inhomogenen Gleichung dominiert. Man spricht vom
eingeschwungenen Zustand, und wir interessieren uns im
folgenden für diesen Zustand.
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