Der harmonisch getriebene gedämpfte Oszillator

Wir schließen unsere Betrachtung der harmonischen Oszillatoren mit der Behandlung der Bewegungsgleichung für den Fall, daß zusätzlich zur Reibungs- und harmonischen Kraft noch eine zeitabhängige äußere treibende Kraft an dem Massenpunkt angreift. Dabei beschränken wir uns auf den Fall einer harmonischen Zeitabhängigkeit der äußeren Kraft. Die Bewegungsgleichung lautet dann

$$m \ddot{x}=-m \omega_0^2 x - 2 m \gamma \dot{x}+m A \cos(\Omega t).$$ (1.4.1)

Dies in die Normalform für lineare Differentialgleichungen 2. Ordnung gebracht liefert die inhomogene Gleichung

$$\ddot{x}+2 \gamma \dot{x} + \omega_0^2 x=A \cos(\Omega t).$$ (1.4.2)

Wir bemerken als erstes, daß wegen der Linearität des Differentialoperators auf der linken Seite die Differenz zweier Lösungen dieser inhomogenen Gleichung wieder die homogene Gleichung löst. Die allgemeine Lösung der inhomogenen Gleichung ist also durch die Summe aus der allgemeinen Lösung der homogenen Gleichung und einer beliebigen speziellen Lösung der inhomogenen Gleichung gegeben:

$$x(t)=C_1 x_1^{(\text{hom})}(t) + C_2 x_2^{(\text{hom})}(t) + x^{(\text{inh})}(t).$$ (1.4.3)

Dabei sind $x_1$ und $x_2$ beliebige zueinander linear unabhängige Lösungen der homogenen Differentialgleichung, die wir im vorigen Abschnitt für die drei Fälle (Schwingfall, Kriechfall, aperiodischer Grenzfall) gefunden haben:

$$\begin{cases}x_1(t)=\exp(-\gamma t) \cos(\omega t), \quad x_2... ...gamma t) & \text{f\uml {u}r} \quad \omega_0=\gamma. \end{cases}$$ (1.4.4)

Dabei ist im Schwingfall $\omega=\sqrt{\omega_0^2-\gamma^2}$ und im Kriechfall $\gamma_{12}=\gamma \pm \sqrt{\gamma^2-\omega_0^2}$ .

Diese Lösungen werden allesamt für $t \gg 1/\gamma$ (bzw. im Kriechfall für $t \gg 1/\gamma_2$ ) exponentiell weggedämft werden. Für große Zeiten wird die Lösung also durch die spezielle Lösung der inhomogenen Gleichung dominiert. Man spricht vom eingeschwungenen Zustand, und wir interessieren uns im folgenden für diesen Zustand.