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Schließlich beschäftigen wir uns noch mit der Frage, wie ein
harmonisch gebundener Körper unter Berücksichtigung der Reibung sich
unter einer vorgegebenen von außen eingeprägten Kraft
verhält. Schreiben wir zur Abkürzung
, lautet die zu lösende Bewegungsgleichung
 |
(1.2.27) |
Nehmen wir nun an, wir hätten zwei Lösungen
und
dieser
Gleichung gefunden und bilden
. Wegen der Linearität der
Differentialgleichung erfüllt
die oben gelöste Gleichung für die
Bewegung ohne äußere Kraft (die homogene Gleichung), d.h. wir
müssen nur eine einzige spezielle Lösung der obigen Gleichung finden,
denn wir besitzen ja bereits die vollständige Lösung für die homogene
Gleichung.
Besonders bequem ist diejenige spezielle Lösung
, die die
Anfangsbedingungen
 |
(1.2.28) |
Wegen der Linearität der Gleichung können wir weiter davon ausgehen,
daß diese Lösung linear in der eingeprägten Kraft sein
wird. Weiter kann die Lösung zur Zeit
aufgrund des
Kausalitätsprinzip nur von Werten von
zu Zeiten
abhängen. Das führt uns zu dem Ansatz
 |
(1.2.29) |
Setzen wir diesen Ansatz in die Differentialgleichung (1.2.28)
ein, folgt
 |
(1.2.30) |
Damit muß
der inhomogenen Gleichung mit einer
-Distribution als eingeprägter Kraft genügen:
 |
(1.2.31) |
Man bezeichnet
als die zu dem linearen Differentialoperator in der
Klammer gehörige Green-Funktion.
Die rechte Seite hängt nur von der Differenz der Zeiten
ab, so
daß wir zur Lösung dieser Gleichung den Ansatz
 |
(1.2.32) |
machen können. Dann muß aber gelten
 |
(1.2.33) |
Um die Anfangsbedingung (1.2.28) zu erfüllen, muß offenbar
für |
(1.2.34) |
gelten. Für
ist aber
, und
erfüllt die homogene
Gleichung.
Wir schließen zunächst den aperiodischen Grenzfall aus, d.h. wir
nehmen an
. Damit muß gemäß der oben
hergeleiteten Lösungen gelten
 |
(1.2.35) |
mit den beiden reellen oder zueinander konjugiert komplexen Werten
1.2.19. Aufgrund der Anfangsbedingung muß nun offenbar
, d.h.
gelten, d.h.
ist in
stetig. Um nun
auch
bestimmen zu können benötigen wir eine Bedingung an
für
. Um diese zu erhalten, müssen wir nur die
Differentialgleichung (1.2.33) über ein Intervall
für ein beliebiges
integrieren und
dann
zu führen. Das liefert wegen
(1.2.35)
 |
(1.2.36) |
Es ist also
 |
(1.2.37) |
Damit ist also
![$\displaystyle g(t)=\frac{\Theta(t)}{2 \sqrt{\alpha^2-\omega_0^2}} [\exp(\lambda_1 t)-\exp(\lambda_2 t)].$](img208.png) |
(1.2.38) |
Dabei haben wir die Heavisidesche Einheitssprungfunktion
 |
(1.2.39) |
Dabei ist die Wahl des Wertes für
für unsere jetzige Anwendung
irrelevant. Die eben getroffene Festlegung erweist sich aber im
Zusammenhang mit Fourier-Reihen als bequem
(vgl. z.B. [CH10]). Für den überdämpften bzw. den
Schwingfall erhalten wir aus (1.2.38) unter erneuter Anwendung
von (1.2.19)
 |
(1.2.40) |
Dabei haben wir die Beziehungen
 |
(1.2.41) |
verwendet.
Die Greensche Funktion für den aperiodischen Grenzfall
erhalten wir wieder, indem wir in (1.2.40)
den Grenzübergang
bilden:
falls |
(1.2.42) |
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