Harmonische Anregungen

Besonders interessant ist die Untersuchung des Verhaltens des harmonischen Oszillators unter Einwirkung harmonischer Kräfte, d.h. für den Fall

$$a(t)=a_0 \cos(\omega t)=a_0 \re \exp(-\ii \omega t)$$ (1.2.43)

in (1.2.27). Da diese Bewegungsgleichung eine lineare Differentialgleichung mit reellen Koeffizienten ist, können wir zunächst die komplexe Funktion

$$\tilde{a}(t)=a_0 \exp(-\ii \omega t)$$ (1.2.44)

betrachten und dann den Realteil der Lösung bilden. Wir betrachten also die durch die Greensche Funktion gegebene Lösung mit den homogenen Anfangsbedingungen (1.2.28) für diesen Spezialfall für die antreibende Kraft. Die Integrale (1.2.29) lassen sich in den drei Fällen der Überdämpfung, des aperiodischen Grenzfalls und des Schwingfalls leicht auswerten, indem man die Hyperbel- und trigonometrischen Funktionen wieder in Exponentialfunktionen umschreibt. Dies sei dem Leser als Übung überlassen. Hier wollen wir einen anderen Ansatz verfolgen.

Es ist aufgrund der Bauart der Bewegungsgleichung (1.2.27) klar, daß es Lösungen geben muß, die mit der Frequenz der äußeren Kraft $\omega$ schwingen. Dieser Lösung überlagert ist stets eine Lösung der homogenen Gleichung, die immer dazu dienen kann, die Anfangsbedingungen zu erfüllen. Diese Eigenbewegung ist aber stets gedämpft (außer in dem etwas künstlichen Fall des ungedämpften Oszillators). Für große Zeiten, also $t \gg 1/\alpha$ werden diese transienten Anteile der Bewegung irrelevant, und man hat es mit einer ungedämpften Schwingung mit der Frequenz der eingeprägten Kraft zu tun. Wir interessieren uns nun für diesen stationären Zustand. Dieser sollte wie jede harmonische Schwingung durch eine Amplitude und eine Phasenverschiebung relativ zur Phase der eingeprägten Kraft charakterisiert sein. Um dies zu beweisen, müssen wir nur den Ansatz

$$\tilde{x}_{\omega}(t)=A \exp(-\ii \omega t)$$ (1.2.45)

für $x$ in (1.2.27) einsetzen. Das liefert nach Kürzen durch den gemeinsamen Faktor $\exp(-\ii \omega t)$ die Bestimmungsgleichung

$$A (-\omega^2-2 \ii \omega \alpha + \omega_0^2)=a_0 \; \Rightarrow... ...ega_0^2-2 \ii \omega \alpha)}{(\omega^2-\omega_0^2)^2+4 \omega^2 \alpha^2} a_0.$$ (1.2.46)

Dies können wir in der Tat in der Form

$$A=\vert A\vert \exp(\ii \varphi)$$ (1.2.47)

schreiben. Dabei ist

$$\vert A\vert=\frac{a_0}{\sqrt{(\omega^2-\omega_0^2)^2+4 \omega^2 ... ...omega_0^2-\omega^2}{\sqrt{(\omega^2-\omega_0^2)^2+4 \omega^2 \alpha^2}}\right),$$ (1.2.48)

wobei wir $a_0>0$ angenommen haben. Es ist also stets $\varphi \in [0,\pi]$ . Bilden wir nun noch den Realteil unseres Ansatzes (1.2.45), erhalten wir schließlich die stationäre Lösung zu

$$x_{\omega}(t)=\frac{a_0}{\sqrt{(\omega^2-\omega_0^2)^2+4 \omega^2 \alpha^2}} \cos[\omega t-\varphi(\omega)].$$ (1.2.49)

Nach Abklingen der transienten Moden (Einschwingvorgang) schwingt also der Massenpunkt in der Tat harmonisch mit der Frequenz der äußeren Kraft. Die Phase der Schwingung hinkt der Phase der äußeren Kraft stets um einen Winkel $\varphi$ hinterher.

Die Amplitude nimmt für $\omega=\omega_R=\sqrt{\omega_0^2-2 \alpha^2}$ ein Maximum an. Man bezeichnet daher in diesem Zusammenhang $\omega_R$ als Resonanzfrequenz.