Fourier-Reihen und Fourier-Integrale

Die eben durchgeführte Betrachtung einer harmonischen äußeren Kraft kann auch für die Untersuchung allgemeinerer äußerer Kräfte genutzt werden, indem man sich der Fourierschen Methode der harmonischen Analyse bedient. Hat man es mit beliebigen periodischen Kräften mit Kreisfrequenz $\omega$ zu tun, kann man die Funktion in eine Fourier-Reihe entwickeln. Für nichtperiodische Vorgänge kann man Fourier-Integrale verwenden. Wir fassen uns hier kurz und verweisen für eine ausführlicherre Darstellung auf [CH10].

Sei also durch $a(t)$ eine äußere periodische Kraft mit Periodendauer $T=2 \pi/\omega$ gegeben. Dann können wir sie in eine Fourier-Reihe der Form

$$a(t)=\sum_{n \in \Z} \tilde{a}_n \exp(-\ii n \omega t).$$ (1.2.50)

Wegen

$$\int_{-T/2}^{T/2}\dd t \; \exp[-\ii (n-m) \omega t] = \begin{case... ...uad n=m \in \Z,\ 0 & \text{falls} \quad n \neq m, \quad n,m \in \Z \end{cases}$$ (1.2.51)

ergeben sich die Fourier-Koeffizienten bei vorgegebenem $a(t)$ durch

$$\tilde{a}_n=\frac{1}{T} \int_{-T/2}^{T/2} \dd t \; a(t) \exp(+\ii n \omega t).$$ (1.2.52)

Die stationäre Lösung der Bewegungsgleichung für eine solche periodische Kraft ergibt sich dann durch Superposition aus (1.2.49) in der Form

$$x(t)=\sum_{n \in \Z} x_{\omega_n}(t).$$ (1.2.53)

Für eine nichtperiodische Kraft können wir bei hinreichend schnellem Abfall im zeitlich Unendlichen die Darstellung als Fourier-Integral verwenden:

$$a(t)=\int_{\R} \frac{\dd \omega}{2 \pi} \tilde{a}(\omega) \exp(-\ii \omega t).$$ (1.2.54)

Die entsprechende Umkehrung ist durch

$$\tilde{a}(\omega)=\int_{\R} \dd t \; a(t) \exp(+\ii \omega t)$$ (1.2.55)

gegeben (für Einzelheiten dazu s. wieder [CH10]). Dann finden wir die stationäre Lösung wieder durch ,,Superposition`` der Lösungen (1.2.49):

$$x(t)=\int_{\R} \frac{\dd \omega}{2 \pi} \tilde{a}(\omega) x_{\omega}(t) \exp(-\ii \omega t).$$ (1.2.56)

Schließlich gewinnen wir noch die Greensche Funktion mit Hilfe der Fourier-Transformation. Wir gehen von der entsprechenden Differentialgleichung (1.2.33) aus und stellen $g(t)$ durch ihre Fourier-Transformierte $\tilde{g}(\omega)$ aus,

$$g(t)=\int_{\R} \frac{\dd \omega}{2 \pi} \tilde{g}(\omega) \exp(-\ii \omega t).$$ (1.2.57)

Dann benötigen wir noch die Darstellung der $\delta$ -Distribution in der Form

$$\delta(t)=\int_{\R} \frac{\dd \omega}{2 \pi} \exp(-\ii \omega t).$$ (1.2.58)

Setzen wir dies in (1.2.33) ein, erhalten wir

$$(-\omega^2-2\ii \omega \alpha + \omega_0^2) \tilde{g}(\omega)=1.$$ (1.2.59)

Damit ist also die Fourier-Transformierte der Green-Funktion durch eine einfache algebraische Gleichung gegeben:

$$\tilde{g}(\omega)=-\frac{1}{\omega^2-\omega_0^2+2 \ii \omega \alpha}.$$ (1.2.60)

Um die Greensche Funktion $g(t)$ zu gewinnen, können wir bei der Auswertung des Fourier-Integrals (1.2.57) den Residuensatz anwenden. Dazu müssen wir den Integrationsweg, der ja ursprünglich entlang reeller Werte für $\omega$ führt, in der komplexen $\omega$ -Ebene schließen. Aufgrund der Exponentialfunktion können wir dies durch jeweils einen sehr großen Halbkreis, dessen Radius wir am Ende der Rechnung gegen $\infty$ geführt denken dürfen, bewerkstelligen, wobei wir für $t<0$ den Halbkreis in der oberen für $t>0$ in der unteren Halbebene zu schließen haben, damit sein Beitrag jeweils exponential gedämpft ist und im Unendlichen verschwindet. Da (1.2.60) in der oberen $\omega$ -Halbebene keine Pole besitzt, denn es ist ja $\alpha>0$ , ist automatisch $g(t)=0$ für $t<0$ .

Für $t>0$ behandeln wir zunächst den Fall $\alpha \neq \omega_0$ (entsprechend dem Fall von Überdämpfung oder dem Schwingfall). Dann haben wir zwei Pole erster Ordnung bei

$$\omega_{12}= \begin{cases}-\ii \alpha \pm \sqrt{\omega_0^2-\alpha... ...ii \sqrt{\alpha^2-\omega_0^2} & \text{falls} \quad \omega_0<\alpha. \end{cases}$$ (1.2.61)

Da der Integrationsweg im Uhrzeigersinn, also in mathematisch negativem Sinn durchlaufen wird, müssen wir die Residuen des Integranden in (1.2.57) mit $-2 \pi \ii$ multiplizieren und aufaddieren. Wir erhalten daraus sofort wieder (1.2.40).

Im aperiodischen Grenzfall $\omega_0=\alpha$ , besitzt (1.2.59) einen Pol 2. Ordnung:

$$\tilde{g}(\omega)=-\frac{1}{(\omega+\ii \alpha)^2}$$ (1.2.62)

Hier erhalten wir das Residuum des Fourier-Integranden am einfachsten, indem wir die Exponentialfunktion in eine Taylor-Reihe um $\omega=-\ii \alpha$ entwickeln:

$$\tilde{g}(\omega) \exp(-\ii \omega t)=-\frac{1}{(\omega+\ii \alph... ...[1-\ii t \exp(-\alpha t)(\omega+\ii \alpha)+\mathcal{O}[(\omega+\ii \alpha)^2].$$ (1.2.63)

Wie zu erwarten, führt also auch hier der Residuensatz zum korrekten Ergebnis (1.2.42).