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(1.3.1) |
In diesem Abschnitt werden wir die eben eingeführte Raum-Zeit, auf der die klassische Galilei-Newtonsche Mechanik aufbaut, mathematisch ein wenig näher untersuchen, und zwar indem wir die für die innere Konsistenz der Theorie notwendige Symmetrie unter den affinen euklidischen Koordinatentransformationen ausformulieren, die die Unabhängigkeit der Phänomene vom gewählten Bezugssystem ausdrückt. Das geeignete mathematische Hilfsmittel dazu ist die Gruppentheorie, die wir hier zwar in ausführlicher aber doch möglichst kurzer Form behandeln wollen. Symmetriegruppen stehen im Zentrum des Interesses der fundamentalen Grundgesetze der Physik, und daher erscheint diese frühe Einführung der allgemeinen Symmetrieprinzipien gerechtfertigt.
Wir haben aus unserer täglichen Erfahrung nur eine recht vage Vorstellung von dem, was in der Physik und Mathematik unter Symmetrie verstanden wird. Nehmen wir die Geometrie als das Gebiet der Mathematik, das der anschaulichen Bedeutung von Symmetrie am besten entspricht, können wir diese Anschauung dadurch charakterisieren, daß eine Figur symmetrisch ist, wenn sie bei bestimmten geometrischen Operationen wie z.B. dem Spiegeln an einer Achse oder einem Punkt unverändert bleibt. Mathematisch ausgedrückt heißt das aber nichts anderes, als daß wir eine Operation an der Figur ausführen.
Formulieren wir das etwas abstrakter, sehen wir, daß eine Symmetrie mathematisch dadurch charakterisiert werden kann, daß eine Abbildung bestimmter Punktmengen des affinen Raumes, die wir dann symmetrisch bzgl. dieser Abbildung nennen, diese Punktmengen in sich abbildet. Wir setzen weiter voraus, daß die Abbildung bijektiv, also umkehrbar eindeutig ist. Die Symmetrie einer Punktmenge wird also dadurch definiert, daß eine bijektive Abbildung des affinen Raumes existiert, die die Punktmenge in sich abbildet.
Aufgrund der Lex prima sind die geradlinig gleichförmigen Bewegungen eines Körpers durch nichts gegenüber der Ruhe desselben physikalisch zu unterscheiden. Es ist vielmehr die Eigenschaft der Trägheit, die durch die Masse des Körpers in der Lex secunda definiert wird, wenn man die wirkenden Kräfte aufgrund außerhalb der Mechanik liegenden Naturgesetzen als gegeben ansieht. Historisch waren diese Kräfte allein aufgrund von Beobachtungen bestimmbar. Die moderne Physik hat allerdings gezeigt, daß die Betrachtung der Symmetrien einer Theorie, also die Betrachtung der Transformationen der Gleichungen, die diese invariant lassen, die Form der Kräfte sehr weitgehend bestimmt. Heute genügen Symmetrieprinzipien, die allerdings auch auf empirische Untersuchungen der Elementarteilchen zurückgehen, um die bekannten Grundkräfte der Natur in befriedigender Weise zu beschreiben.
In diesem Kapitel beschäftigen wir uns mit den Restriktionen, die die Symmetrie, die der Newtonschen Raum-Zeit innewohnt, der Form der Kräfte auferlegt. So kann man ein Bezugssystem, in dem die Lex secunda gilt, nicht von einem anderen Bezugssystem unterscheiden, das sich gegenüber dem ersten geradlinig gleichförmig bewegt. Das bedeutet, daß die Masse und die Kräfte sich unter einer Transformation der Form
Betrachten wir nun die mathematischen Gesetzmäßigkeiten, die unseren Transformationen zugrundeliegen, genauer, erkennen wir eine algebraische Struktur, die die Mathematiker eine Gruppe nennen. Während bisher die Struktur der physikalischen Raum-Zeit im Vordergrund unserer Überlegungen stand, sind wir jetzt bei einer Formulierung angelangt, die die Transformationen dieses Raumes in sich ins Blickfeld rückt. Die Gruppentheorie ermöglicht nun die Betrachtung dieser Transformationen ohne notwendig den zu transformierenden Raum im Auge zu haben. Diese Abstraktion hat sich für die gesamte moderne Physik, deren Entwicklung mit der Formulierung der Quantentheorie ihren derzeitig gültigen Stand erreicht hat, als außerordentlich nützlich, wenn nicht gar als unverzichtbar erwiesen.