Einschub: Grundlegendes zur Gruppentheorie

Wir formulieren also zunächst die wichtigsten mathematischen Grundlagen der Gruppentheorie.

Eine Menge $G$ mit einer binären Operation $G\times{}G\rightarrow{}G$ , $(a,b)\mapsto{}ab$ heißt Gruppe, wenn folgende Axiome erfüllt sind:

(G1)

Für drei Elemente $a,b,c \in G$ gilt stets das Assoziativgesetz $(ab)c=a(bc)$ .

(G2)

Es gibt genau ein neutrales Element $e \in G$ mit $e a=a e=a$ für alle $a \in G$ .

(G3)

Zu jedem $a \in G$ existiert genau ein inverses Element $a^{-1} \in G$ , so daß $a a^{-1}=a^{-1} a=e$ .

Gilt zusätzlich noch die Kommutativität, also für alle $a,b \in G$ die Beziehung $ab=ba$ , so heißt die Gruppe Abelsche Gruppe.

Eine Teilmenge $H \subseteq G$ heißt Untergruppe zu $G$ , wenn sie mit der Gruppenmultiplikation von $G$ wieder eine Gruppe bildet.

Die einfachsten Beispiele für Abelsche Gruppen sind die Addition in Vektorräumen bzw. Körpern (die sog. additiven Gruppen). Wir benötigen im folgenden vor allem Untergruppen der GL$(n)$ , also der Gruppe, die durch die invertierbaren $n \times n$ -Matrizen (isomorph zur Menge aller Automorphismen des $\mathbb{K}^n$ , wobei $\mathbb{K}$ den jeweils zugrundegelegten Skalarenkörper des Vektorraumes bezeichnet, für unsere Zwecke also stets $\R$ oder $\C$ ) definiert ist. Die Gruppenmultiplikation ist dabei die übliche Matrizenmultiplikation (entsprechend der Hintereinanderausführung der Automorphismen).

Betrachten wir jedoch nun die Transformationen der Form (1.3.1), also die Galileiboosts. Diese bilden eine Untergruppe der vollen Galileigruppe, die wir kurz als Boostuntergruppe bezeichnen wollen. Das läßt sich leicht einsehen, wenn wir die Hintereinanderausführung zweier Boosts betrachten:

$$t'=t, \; \bvec{x}'=\bvec{x}-\bvec{v}_1 t, \; t''=t', \; \bvec{x}'... ... t' \; \Rightarrow \; t''=t, \; \bvec{x}''=\bvec{x}-(\bvec{v}_1 + \bvec{v}_2)t.$$ (1.3.2)

Das wesentliche für die behauptete Gruppenstruktur ist, daß diese Hintereinanderausführung zweier Boosts wieder ein Boost ist. Die resultierende Boostgeschwindigkeit ist einfach die Summe der Boostgeschwindigkeiten der einzelnen Transformationen. Hier sehen wir wieder ein Charakteristikum für die Gruppen, die uns hier in der klassischen Mechanik begegnen: Jedes Gruppenelement, in diesem Falle also jede Boosttransformation, läßt sich durch einen Satz kontinuierlicher Parameter, hier der Boostgeschwindigkeit $\bvec{v}$ , eindeutig beschreiben. Mehr noch, vermöge der Euklidischen Norm des $\R^3$ besitzt der Parameterraum eine Metrik, und die Transformationen lassen sich sogar bzgl. der Parameter differenzieren. Gruppen, die eine topologische Struktur besitzen, bzgl. der die Gruppenoperationen stetig sind, heißen topologische Gruppen, und solche, die sogar differenzierbar in dem eben beschriebenen Sinne sind heißen Liegruppen.

In der klassischen Mechanik haben wir es, wie oben erwähnt, meist mit Matrixgruppen, also Untergruppen der GL$(n)$ zu tun, und da versteht sich die Differenzierbarkeitsstruktur wie in endlichdimensionalen Räumen üblich komponentenweise, so daß wir hier auf die mathematisch äußerst interessante aber auch nicht ganz einfache Theorie der allgemeinen Liegruppen nicht näher eingehen werden. Wir werden allerdings so oft als möglich, die gruppentheoretische Sprechweise und auch die typische Schlußweise benutzen, um physikalische Resultate zu erhalten, weil dies die der modernen Auffassung der Physik adäquate Sprache ist. Wir werden auch die abstrakte Theorie der differenzierbaren Mannigfaltigkeiten parallel entwickeln, weil dies das der später zu behandelnden Allgemeinen Relativitätstheorie Einsteins angepaßte Ausdrucksmittel darstellt. Auch erweist sich die moderne Theorie des Cartankalküls als bei weitem übersichtlicher als die ältere Vektoranalysis, die wir hier nur insoweit einführen werden (und immer parallel zu der modernen Version) als sie zum Verständnis der Lehrbuchliteratur unentbehrlich und praktischen Rechnungen förderlich erscheint.

Jetzt wollen wir sogleich die Galileiboosts in eine andere Darstellung, nämlich als Untergruppe der $\text{GL(4,\R)}$ , bringen. Wir definieren dazu vierdimensionale Spaltenvektoren

$$\uvec{x}=(t,x_1,x_2,x_3)^t=(t,\bvec{x})^t.$$ (1.3.3)

Ein Blick auf (1.3.1) zeigt uns, daß wir dann einen Boost mit Geschwindigkeit $\bvec{v}$ mit Hilfe von Matrizen wie folgt darstellen können:

$$\uvec{x}'=\begin{pmatrix}t' \ x' \ y' \ z' \end{pmatrix}= \beg... ...ix} \begin{pmatrix}t \ x_1 \ x_2 \ x_3 \end{pmatrix}=G_B(\bvec{v}) \uvec{x}.$$ (1.3.4)

Wir nennen diese vierdimensionalen Vektoren Galileische Weltvektoren und die Punkte im dazugehörigen vierdimensionalen affinen Punktraum Ereignisse. Wir bemerken weiter, daß nunmehr tatsächlich die Galileiboosts vermöge der eben definierten Boostmatrizen $G_B(\bvec{v})$ als (Abelsche) Untergruppe der GL$(4,\R)$ dargestellt werden. Es gilt nämlich

$$G_B(\bvec{v}) G_B(\bvec{w})=G_B(\bvec{w}) G_B(\bvec{v})=G_B(\bvec{v}+\bvec{w}), \; G_B(\bvec{v})^{-1}=G_B(-\bvec{v}),$$ (1.3.5)

so daß alle Gruppenaxiome unter Einschränkung auf Boostmatrizen erfüllt werden und zudem noch Kommutativität der Gruppenmultiplikation gilt. Die Einführung dieser vierdimensionalen Weltvektoren im Galileischen Kontext ist eigentlich nicht notwendig, erlaubt aber eine sehr einfache Implementierung der Galileigruppe in das Computersystem Mathematica, so daß wir einige lästige Rechenarbeit dem Computer überlassen können.