Geometrie der Galilei-Welt

Bevor wir nun die Gruppe der affinen Transformationen des $\R^4$ auf die Symmetriegruppe der Galileischen Welt reduzieren (wir haben als die physikalisch interessanteste Untergruppe bisher nur die Boosts identifiziert), wollen wir eine etwas geometrischere Vorstellung von dieser Welt gewinnen.

Wir beschränken uns dabei auf die Darstellung einer eindimensionalen Bewegung, reduzieren also die vierdimensionale Welt auf die $tx$ -Ebene. Dazu tragen wir $t$ in horizontaler und $x$ in vertikaler Richtung der Ebene auf. Die Rechtwinkligkeit dieses Koordinatensystems ist dabei reine Willkür und durch nichts in der Struktur der Raum-Zeit selbst in irgendeiner Weise ausgezeichnet. Wir werden auch sogleich sehen, daß die Darstellung eines geboosteten Koordinatensystems diese Rechtwinkligkeit notwendig zerstört.

Betrachten wir nun in diesem System $\Sigma$ ein gegen dieses mit der Geschwindigkeit $v$ bewegtes Bezugssystem $\Sigma '$ , d.h. $t'=t$ und $x'=x-vt$ . Die $x'$ -Achse ist dann durch $t=t'=0$ gegeben und fällt infolgedessen mit der alten $x$ -Achse zusammen. Die $t'$ -Achse ist hingegen durch $x'=0$ , also bzgl. $\Sigma$ durch $x=v t$ gegeben und wird folglich als Gerade mit der Steigung $v$ in unserem Diagramm dargestellt.

Nunmehr haben wir in dem neuen Koordinatensystem die Einheiten zu konstruieren. In $\Sigma$ legen wir diese willkürlich fest. Wegen $t'=t$ muß die Linie der gleichzeitigen Ereignisse parallel zur $x'=x$ -Achse verlaufen, so daß der Schnittpunkt der Parallele durch $t=1$ mit der $t'$ -Achse, deren Zeiteinheit eindeutig festlegt. Diese Konstruktion wird in Abb. 1.1 gezeigt.

In ihr ist auch die Darstellung eines beliebigen Ereignisses $P$ bzgl. der beiden Systeme $\Sigma$ und $\Sigma '$ abzulesen.

Die Galileitransformation $x'=x-vt$ für jeden Weltpunkt $P$ ist unmittelbare geometrische Folgerung aus der Konstruktion der Zeitachse und Zeiteinheit des Bezugssystems $\Sigma '$ aus den entsprechenden Festlegungen für die willkürliche Wahl derselben für das Bezugssystem $\Sigma$ .

Diese Darstellung zeigt auch, daß mit Einführung der Galileischen Raum-Zeit die Annahme gemacht wurde, daß die Zeit durch instantane Signale vom Bezugssystem $\Sigma$ auf das dazu bewegte Bezugssystem $\Sigma '$ übertragen werden kann.

Wir wollen nun einige kinematische Folgerungen aus den eingeführten Galileidiagrammen ziehen. So selbstverständlich diese uns erscheinen mögen, die analogen Konstruktionen werden uns in einem späteren Kapitel, in dem wir die Raum-Zeit, die der speziellen Relativitätstheorie zugrundeliegt, zu scheinbar paradoxen Ergebnissen führen.

Beginnen wir mit der Gleichzeitigkeit zweier Ereignisse $P_1$ und $P_2$ . Gleichzeitigkeit in $\Sigma$ bedeutet, daß die Ereignisse im Galileidiagramm auf einer Parallele zur $x$ -Achse liegen. Konstruieren wir wie in Abb. 1.1 das bzgl. $\Sigma$ gleichförmig geradlinig bewegte Bezugssystem $\Sigma '$ , finden wegen der Übereinstimmung von $x$ - und $x'$ -Achse die beiden Ereignisse erwartungsgemäß auch in $\Sigma '$ gleichzeitig statt.

Bzgl. $\Sigma$ gleichzeitige Ereignisse sind auch gleichzeitig bzgl. dem dazu gleichförmig geradlinig bewegten Bezugssystem $\Sigma '$ .

Als nächstes betrachten wir die Längenmessung eines bzgl. $\Sigma '$ ruhenden Stabes, der sich also bzgl. $\Sigma$ geradlinig gleichförmig bewegt. Die Längenmessung bedeutet dabei definitionsgemäß, daß die Koordinaten von Anfangs- und Endpunkt des Stabes gleichzeitig im jeweiligen Bezugssystem zu bestimmen sind. Abb. 1.3 zeigt sofort das bereits erwartete Resultat, nämlich, daß die Länge des Stabes in beiden Bezugssystemen gleich ist.

Längenmessung eines bzgl. $\Sigma '$ ruhenden Stabes: Gezeichnet sind die Weltlinien von Anfangs- und Endpunkt des Stabes. Die Längenmessung erfordert die gleichzeitige Festlegung von Anfangs- und Endkoordinate des Stabes. Die Zeichnung zeigt unmittelbar, daß $l'=\vert x_1'-x_2'\vert=\vert x_1-x_2\vert=l$ ist.

Als letztes Beispiel betrachten wir den Zeitunterschied zweier bzgl. $\Sigma$ am gleichen Ort stattfindender Ereignisse. Die Abb. 1.4 zeigt nach Anwendung des Strahlensatzes unter Berücksichtigung der wie in Abb. 1.1 zu konstruierenden Zeiteinheit, daß erwartungsgemäß der Zeitunterschied in $\Sigma '$ gleich ist wie in $\Sigma$ .

Zeitabstand zweier bzgl. $\Sigma$ am gleichen Ort stattfindender Ereignisse $P_1$ und $P_2$ . Aus dem Strahlensatz liest man unmittelbar ab, daß $(t_2'-t_1')/1'=(t_2-t_1)/1$ gilt. Da beide Beobachter jeweils ihren Zeitmaßstab benutzen, messen sie also beide den gleichen Zeitabstand zwischen beiden Ereignissen. Klarerweise finden die Ereignisse bzgl. $\Sigma '$ nicht am gleichen Ort statt, sondern sie liegen entsprechend der Bewegung des Systems $\Sigma '$ gegenüber dem System $\Sigma$ auseinander.