Einschub über Normalteiler und Homomorphismen

Eine Untergruppe $U$ einer Gruppe $G$ heißt Normalteiler, wenn für alle $g \in G$ gilt $g U=U g$ .

Sind $G$ und $G'$ Gruppen, so heißt jede Abbildung $\phi:G \rightarrow G'$ Homomorphismus genauer Gruppenhomomorphismus, wenn gilt:

$$\forall g_1,g_2 \in G: \phi(g_1 g_2)=\phi(g_1) \phi(g_2).$$ (1.4.17)

Z.B. ist $\det:$GL$(n,\K) \rightarrow \K^*$ aufgrund des Determinantenmultiplikationssatzes ein Gruppenhomomorphismus. Dabei bezeichnet $\K^*=\K \setminus \{0 \}$ die multiplikative Gruppe des um 0 verminderten Skalarenkörpers, und GL$(n,\K)$ ist wieder die Menge aller $n \times n$ -Matrizen mit Elementen aus $K$ (hierbei verstehen wir wie immer unter $K$ jeweils $\R$ oder $\C$ , je nach Kontext).

Man definiert für einen Gruppenhomomorphismus $\phi:G \rightarrow G'$ kern$(\phi)=\phi^{-1}(\{1\}) = \{g \in G\vert\phi(g)=1\}$ .

Wir zeigen, daß $U=$kern$(\phi)$ ein Normalteiler von $G$ ist: Dazu ist nur zu zeigen, daß für ein beliebiges $u \in U$ auch $gug^{-1}\in{}U$ für alle $g \in G$ ist. Das ist aber trivial, denn es gilt $\phi(g u g^{-1})=\phi(g) \phi(u) \phi(g)^{-1}$ , weil $\phi$ Gruppenhomomorphismus ist. Wegen $u \in$   kern$(\phi)$ ist $\phi(u)=1$ und damit auch $\phi(g u g^{-1})=1$ , also $gug^{-1}\in{}U$ , und das war zu zeigen.