Eine andere Parametrisierung der SO(3)

Um nun explizit zu zeigen, daß alle SO($3$ )-Matrizen Drehungen um eine bestimmte Drehachse mit einem bestimmten Winkel $\phi$ bedeuten, wollen wir eine andere Parametrisierung für Drehmatrizen finden. Dazu bedienen wir uns einer Methode, die im folgenden noch oft zur Anwendung kommen wird, nämlich die der infinitesimalen Transformationen.

Betrachten wir zunächst noch einmal $\hat{D}_3(\phi)$ . Für $n \in \N$ können wir schreiben

$$\hat{D}_3(\phi)=\left [\hat{D}_3 \left(\frac{\phi}{n} \right) \ri... ...n=\left[1+\frac{\phi}{n} \hat{t}_3 +O \left( \frac{\phi}{n} \right)^2 \right]^n \hat{t}_3=\partial_{\phi}\hat{D}_3(0).$$ (1.4.18)

Für große $n$ können wir den in $\phi/n$ quadratischen Term vernachlässigen und erhalten:

$$\hat{D}_3(\phi)=\lim_{n \rightarrow \infty} \left ( 1+\frac{\phi}{n} \hat{t}_3 \right )^n = \exp(\phi \hat{t}_3).$$ (1.4.19)

Dabei ist die Exponentialfunktion formal über die Potenzreihe definiert. Wir können dies einfach dadurch beweisen, daß wir die Potenzreihe ausrechnen. Aus der expliziten Form von $\hat{D}_3$ erhalten wir durch Ableitung und Matrizenmultiplikation

$$\hat{t}_3=\begin{pmatrix}0 & -1 & 0\ 1 & 0 & 0\ 0 & 0 & 0 \end{... ... & 0 \ 0 & -1 & 0 \ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}, \; \hat{t}_3^3=-\hat{t}_3 \ldots$$ (1.4.20)

Schreibt man die Exponentialreihe aus, folgt daraus

$$\begin{split}\exp(\phi \hat{t}_3) & = 1 + \hat{t}_3^2 + \hat{... ...\phi + (1-\cos \phi) \hat{t}_3^2 = \hat{D}_3(\phi). \end{split}$$ (1.4.21)

Damit läßt sich die Ableitung von $\hat{D}_3$ in Form der folgenden Differentialgleichung schreiben:

$$\partial_{\phi} \hat{D}_3(\phi)=\hat{t}_3 \hat{D}_3(\phi).$$ (1.4.22)

Sei nun $\hat{D}_{\vec{n}}(\phi)$ die Drehung mit Drehwinkel $\phi$ um die durch den Einheitsvektor $\vec{n}$ gegebene Richtung. Aufgrund der Isotropie des Raumes gelten nun offensichtlich für solche Drehungen dieselben Beziehungen wie für die eben im Spezialfall $\vec{n}=\vec{e}_3$ hergeleiteten, also

$$\hat{D}_{\vec{n}}(\phi)=\exp(\phi \hat{t}_{\vec{n}}) \hat{t}_{\vec{n}}=\partial_{\phi} \hat{D}_{\vec{n}}(0).$$ (1.4.23)

Die Drehachse ist dadurch charakterisiert, daß Vektoren in ihre Richtung unter der Drehung ungeändert bleiben, d.h. es gilt

$$\hat{D}_{\vec{n}}(\phi) \vec{n}=\vec{n}.$$ (1.4.24)

Ableitung dieser Gleichung nach $\phi$ ergibt damit

$$\hat{t}_{\vec{n}} \vec{n}=0.$$ (1.4.25)

Weiter folgt aus der Orthogonalität der Drehungen

$$\hat{D} \hat{D}^t=1 \Rightarrow 0=(\partial_{\phi} \hat{D}) \hat{... ...= (\partial_{\phi} \hat{D}) \hat{D}^t +[(\partial_{\phi} \hat{D}) \hat{D}^t]^t.$$ (1.4.26)

Andererseits ist

$$\hat{t}_{\vec{n}}=[\partial_{\vec{n}} \exp(\phi \hat{t}_{\vec{n}}... ...ec{n}}) = \partial_{\phi} \hat{D}_{\vec{n}}(\phi) \hat{D}_{\vec{n}}^{-1}(\phi).$$ (1.4.27)

Zusammen mit der vorigen Gleichung folgt, daß $\hat{t}_{\vec{n}}=-\hat{t}_{\vec{n}}^t$ ist, also daß die $\hat{t}_{\vec{n}}$ antisymmetrische $3 \times 3$ -Matrizen sind. Diese bilden einen dreidimensionalen Vektorraum im Raum der $3 \times 3$ -Matrizen. Damit sind wegen ihrer linearen Unabhängigkeit die Matrizen

$$\hat{t}_k=\partial_\phi \hat{D}_k(0) k= 1,2,3$$ (1.4.28)

eine Basis dieses Vektorraums, und es muß folglich

$$\hat{t}_{\vec{n}}=x^k \hat{t}_k$$ (1.4.29)

für geeignete reelle Zahlen $x^k$ gelten. Wie man leicht nachrechnet, ist

$${(\hat{t}_k)^{i}}_{j}=-\epsilon_{kij} \epsilon_{kij} := \begin{cases}1 & \text{falls } (kij) \text{ ger... ...\text{falls wenigstens zwei der Zahlen $k$, $i$, $j$ gleich sind.} \end{cases}$$ (1.4.30)

Damit folgt aber sofort, daß

$$x_k \hat{t}_k \bvec{x}=\vec{e}_i x^{k} {(\hat{t}_k)^{i}}_{j} x^{j}=0.$$ (1.4.31)

Damit also (1.4.29) gilt, muß $\vec{x}=\vec{n}$ sein, denn $\vec{n}$ muß Eigenvektor von $\hat{t}_{\vec{n}}$ zum Eigenwert 0 sein.

Das ergibt die wichtige Parametrisierung der Drehgruppe

$$\hat{D}_{\vec{n}}(\phi)=\exp(\phi \bvec{n} \hat{\bvec{t}}) \bvec{n} \hat{\bvec{t}} = n^{k} \hat{t}_{k}.$$ (1.4.32)

Dabei charakterisiert $\bvec{n}$ als Einheitsvektor einen Punkt auf der Einheitssphäre des $\R^3$ und wird durch zwei Parameter (z.B. Polar- und Azimutwinkel eines Kugelkoordinatensystems) eindeutig bestimmt. Damit ist jede Drehung wiederum durch drei Parameter bestimmt, wie es sein muß. Der Parameterraum ist dabei die Kugel vom Radius $\pi$ in $\R^3$ , wobei gegenüberliegende Punkte auf der Sphäre vom Radius $\pi$ identifiziert werden müssen, weil sie jeweils die gleiche Drehung um den Drehwinkel $\pi$ bewirken. Diese Mannigfaltigkeit bezeichnen wir mit $K^*(\pi)$ , wobei der Stern die Verheftung der gegenüberliegenden Randpunkte kennzeichnen soll. In dieser Parametrisierung schreiben sich also die Drehungen

$$\hat{D}(\bvec{\phi})=\exp(\op{\phi} \hat{\bvec{t}}) \op{\phi} \in K^*(\pi).$$ (1.4.33)