Das Vektorprodukt

Wie wir eben gesehen haben, tritt im Zusammenhang mit Drehungen die Abbildung $\R^3 \times \R^3 \rightarrow \R^3$ , $(\bvec{a},\bvec{b}) \mapsto \bvec{a} \times \bvec{b}$ auf, die mit Hilfe der ,,Tangentenvektoren'' $\hat{t}_k$ an die $1$ der Drehgruppe wie folgt definiert wird:

$$\bvec{a} \times \bvec{b} = (\bvec{a} \bvec{t}) \hat{\bvec{b}}.$$ (1.4.34)

In Komponenten bzgl. eines rechtshändigen Orthonormalsystems schreibt sich dies gemäß (1.4.30):

$$(\bvec{a} \times \bvec{b})^k=a^j {(\hat{t}_j)^{k}}_{l} b^{l} = - \epsilon_{jkl} a^j b^l = \epsilon_{kjl} a^j b^l.$$ (1.4.35)

Eine Rechnung, die genau analog zu der mit $\hat{D}_3$ durchgeführten erfolgt, ergibt dann

$$\hat{D}_{\bvec{n}}(\phi) \vec{x}=\exp(\phi \bvec{n} \hat{\bvec... ...mes \bvec{x}) \times \bvec{n} \cos \phi + (\bvec{n} \times \bvec{x}) \sin \phi.$$ (1.4.36)

Wir können daraus unmittelbar die Differentialgleichung einer Drehung eines Vektors $\bvec{x}$ um eine feste Richtung $\bvec{n}$ herleiten:

$$\bvec{x}(\phi)=\hat{D}_{\bvec{n}}(\phi) \bvec{x}(0) \Rightarrow \... ...\bvec{t} \hat{D}_{\bvec{n}}(\phi) \bvec{x}(0) = \bvec{n} \times \bvec{x}(\phi).$$ (1.4.37)

Für das Kreuzprodukt gilt weiter die folgende Formel:

$$\bvec{a} \times (\bvec{b} \times \bvec{c})=\bvec{b}(\bvec{a} \bvec{c})-\bvec{c} (\bvec{a} \bvec{b})$$ (1.4.38)

Dazu bemerken wir, daß das Levi-Civita-Symbol die Beziehung

$$\epsilon_{ijk} \epsilon_{ilm}=\delta_{jl} \delta_{km} - \delta_{jm} \delta_{kl}$$ (1.4.39)

erfüllt. Zum Beweis brauchen wir nur zu überlegen, daß die Summe nur dann von 0 verschieden sein kann, wenn $\{j,k\}=\{l,m\}$ und wenn $j,k$ und $l,m$ jeweils Paare verschiedener Zahlen sind. Haben $(jk)$ und $(lm)$ die gleiche Reihenfolge, ist die Summe schließlich $1$ , andernfalls $-1$ , und genau das drückt die rechte Seite mit Hilfe der Kronecker-Deltas aus. Der Vollständigkeit halber merken wir noch die daraus durch Kontraktion über das Indexpaar $(j,l)$ entstehende Gleichung

$$\epsilon_{ijk} \epsilon_{ijm}=2 \delta_{km}$$ (1.4.40)

an.

Jetzt stellen wir die Frage, wie sich ein Vektorprodukt unter Drehungen verhält. Es liegt ja nahe zu vermuten, daß sich mit $\bvec{x}$ und $\bvec{y}$ auch $\bvec{x} \times \bvec{y}$ wie die Komponenten eines Vektors transformiert. Das läßt sich auch leicht durch Ableitung von $(\hat{D}_{\bvec{n}}(\phi) \bvec{x}) \times (\hat{D}_{\bvec{n}}(\phi) \bvec{y})$ zeigen. Setzen wir der Abkürzung halber

$$\bvec{x}(\phi)=\hat{D}_{\bvec{n}}(\phi) \bvec{x} \bvec{y}(\phi)=\hat{D}_{\bvec{n}}(\phi) \bvec{y},$$ (1.4.41)

folgt durch Ableiten nach $\phi$ vermöge (1.4.37) und zweimalige Anwendung der Gleichung (1.4.38):

$$\partial_{\phi}[\bvec{x}(\phi) \times \bvec{y}(\phi)] = [\bvec{n}... ...times \bvec{y}(\phi)] = \bvec{n} \times [\bvec{x}(\phi) \times \bvec{y}(\phi)].$$ (1.4.42)

Das ist aber genau die Differentialgleichung, die die Drehung von $\bvec{x} \times \bvec{y}$ zur Lösung hat. Es gilt also für beliebige Drehungen $\hat{D}$ :

$$\hat{D}(\bvec{x} \times \bvec{y})=(D \bvec{x}) \times (D \bvec{y}).$$ (1.4.43)