Rotierende Bezugssysteme

Im folgenden betrachten wir als Anwendung der eben behandelten Drehgruppe die Newtonsche Bewegungsgleichung wie sie von einem rotierenden Bezugssystem aus erscheint. Da rotierende Bezugssysteme keine Inertialsysteme sind, wird sich ergeben, daß aufgrund der Beschleunigung des rotierenden Bezugssystems gegenüber einem Inertialsystem zusätzliche äußere Kräfte auftreten, die proportional zur Masse des Körpers sind, die Trägheitskräfte genannt werden.

Seien also $\bvec{x}=(x^j)$ die Komponenten des Ortsvektors eines Massepunktes bzgl. eines Inertialsystems und $\bvec{x}'=(x'{}^j)$ der Ortsvektor bzgl. eines mit dem rotierenden Bezugssystem verbundenen Koordinatensystems. Der Einfachheit halber wollen wir eine Drehung konstanter Drehgeschwindigkeit betrachten. Dieser Spezialfall hat die wichtige Anwendung, die Auswirkungen der Erddrehung auf Bewegungsvorgänge zu studieren. Es gilt gemäß (1.4.41)

$$\bvec{x}=\hat{D}_{\bvec{n}}(\omega t) \bvec{x}', \quad \frac{\d \... ...d t} = \op{\omega} \times \hat{D} \bvec{x}' + \hat{D} \frac{\d \bvec{x}'}{\d t} \hat{D}=\hat{D}_{\bvec{n}}(\omega t), \quad \op{\omega}=\omega \bvec{n},$$ (1.4.44)

wobei wir den Ursprung beider Koordinatensysteme auf die Drehachse gelegt haben. Darin bezeichnet $\op{\omega}$ die konstante Winkelgeschwindigkeit der Rotation des Koordinatensystems $\Sigma '$ gegenüber dem Inertialsystem $\Sigma$ um die Drehachse $\vec{n}$ , zusammengefaßt zum Vektor der Winkelgeschwindigkeit $\op{\omega}=\omega \bvec{n}$ . Wir haben ferner die Ableitungsregel (1.4.37) angewandt. Hinzu kommt aber noch die Zeitabhängigkeit von $\bvec{x}'$ , der wir im zweiten Term auf der rechten Seite Rechnung getragen haben. Wenden wir nun (1.4.43) an, wobei wir $\hat{D} \op{\omega}=\op{\omega}$ benutzen, folgt

$$\frac{\d \bvec{x}}{\d t}=\hat{D} \left ( \op{\omega} \times \bvec{x}' + \frac{\d \bvec{x}'}{\d t} \right ).$$ (1.4.45)

Nochmalige Ableitung nach $t$ und Multiplikation mit der Masse $m$ des Massepunktes ergibt unter Anwendung der Ableitungsregel (1.4.37) sowie (1.4.43) zufolge der Newtonschen Bewegungsgleichung und Einführung der Kraft $\bvec{F}=\hat{D} \bvec{F}'$ :

$$m \frac{\d^2 \bvec{x}}{\d t^2}=m \hat{D} \left [ \op{\omega} \tim... ...}'}{\d t} + \frac{\d^2 \bvec{x}'}{\d t^2} \right] = \bvec{F}=\hat{D} \bvec{F}'.$$ (1.4.46)

Multiplikation mit $\hat{D}^{-1}$ eliminiert formal jeden Bezug zu der der Newtonschen Mechanik zugrundeliegenden Klasse von Inertialsystemen und ergibt die Bewegungsgleichung wie sie ein Beobachter im rotierenden Bezugssystem (z.B. auf der Erde) wahrnimmt:

$$m \frac{\d^2 \bvec{x}'}{\d t^2} = \bvec{F}' - m \left [ 2 \op{\om... ...d \bvec{x}'}{\d t} + \op{\omega} \times (\op{\omega} \times \bvec{x}') \right].$$ (1.4.47)

Ein Beobachter im rotierenden Bezugssystem konstatiert also die Rotation seines Bezugssystems über die Winkelgeschwindigkeit $\bvec{\omega}$ , und neben den äußeren Kräften $\bvec{F}'$ (z.B. Gravitationskräften der Erde oder elektromagnetischen Kräften, die auf den Massepunkt einwirken) erfährt der Massepunkt noch die Trägheitskräfte, die von der Rotation seines Bezugssystems relativ zur Klasse der Inertialsysteme herrühren. Diese Trägheitskräfte zerlegen sich in den zur Winkelgeschwindigkeit und Geschwindigkeit des Massepunktes proportionalen Anteil (Corioliskraft) und einen zum Quadrat der Winkelgeschwindigkeit und zum Abstand des Massenpunktes von der Drehachse proportionalen Anteil (Zentrifugalkraft).