Der freie Fall auf der rotierenden Erde

Wir wenden uns nun einem Beispiel für die Bewegung eines Massepunktes auf der rotierenden Erde zu, nämlich dem freien Fall. Dabei tritt die Komplikation ein, daß wir den Beobachter an eine beliebige Stelle der Erde setzen wollen. Ohne Beschränkung der Allgemeinheit setzen wir ihn auf den Längengrad 0 aber auf eine beliebige geographische Breite $\alpha \in [-\pi/2,\pi/2]$ . Weiter bemerken wir, daß wir für nicht zu große Fallhöhen^1.4 die Gravitationskraft konstant setzen können und wegen der Kleinheit der Winkelgeschwindigkeit $\omega=2\pi/$Tag den Zentrifugalterm proportional zu $\omega^2$ gegen den Coriolisterm proportional zu $\omega$ vernachlässigen können. Der Hauptanteil der Kraft ist ohnehin die Gravitationskraft $mg$ , wobei $m$ wie bisher die Masse des Punktes und $g \approx 981 cm/s^2$ die Fallbeschleunigung bezeichnen.

Der Beobachter bei der geographischen Breite $\alpha$ wird das in Abb. 1.7 gezeichnete Koordinatensystem benutzen.

Koordinatensystem auf der rotierenden Erde (Erklärung im Text).

Dazu legen wir die Erdachse (Drehachse) in die $3$ -Richtung des Inertialsystems. Die $3'$ -Richtung des erdfesten Systems weist senkrecht aus der Erdoberfläche heraus, der Winkel $\theta$ hängt mit der geographischen Breite $\alpha$ gemäß $\theta=\pi/2-\alpha$ zusammen. Die $1'$ -Achse ist nach Süden und die $2'$ -Achse nach Osten ausgerichtet.

Nun benötigen wir die Drehmatrix $\hat{D}$ , so daß

$$\vec{e}_j'=\vec{e}_k {D^{k}}_j$$ (1.4.48)

ist. Diese erhalten wir offenbar als

$$\hat{D}=\hat{D}_3(\omega t) \hat{D}_2(\vartheta).$$ (1.4.49)

Wir müssen nun im Gegensatz zum vorigen Abschnitt sorgfältig zwischen den Komponenten der Winkelgeschwindigkeit bzgl. der raum- und der erdfesten Koordinaten unterscheiden, da die $3'$ -Achse nun nicht mehr mit der Rotationsachse (also der $3$ -Achse) übereinstimmt. Für die Komponenten des Ortsvektors $\vec{x}$ gilt

$$\bvec{x}=\hat{D} \bvec{x}'$$ (1.4.50)

und für die Geschwindigkeit

$$\dot{\bvec{x}}=\hat{D} \dot{\bvec{x}}'+(\dd_t \hat{D}) \bvec{x}' ... ...{x} = \hat{D} \left ( \dot{\bvec{x}}' + \op{\omega}' \times \bvec{x}' \right ).$$ (1.4.51)

Ausführen der Zeitableitung für die Drehmatrix und Umrechnen der antisymmetrischen Matrix
$(\dd_t \hat{D}) \hat{D}^{-1}$ in die Komponenten der Winkelgeschwindigkeit ergibt schließlich

$$\op{\omega}=\begin{pmatrix}0 \ 0 \ \omega \end{pmatrix}, \quad ... ...} = \omega \begin{pmatrix}-\sin \vartheta \ 0 \ \cos \vartheta \end{pmatrix}= .$$ (1.4.52)

Leiten wir schließlich (1.4.51) nochmals nach der Zeit ab, erhalten wir für die Komponenten der Beschleunigung

$$\ddot{\bvec{x}}=\hat{D} \left [\ddot{\bvec{x}}'+2 \op{\omega}' \t... ...\dot{\bvec{x}}' + \op{\omega}' \times (\op{\omega}' \times \bvec{x}') \right ].$$ (1.4.53)

Der Beobachter auf der Erde wird nun seinen Standpunkt zum Ursprung seines Koordinatensystems wählen, d.h. wir schreiben

$$\vec{x}=\vec{x}_0+\vec{r},$$ (1.4.54)

wobei $\vec{x}_0$ der Ortsvektor des erdfesten Beobachterstandpunkts bzgl. des Erdmittelpunkts (also des Urspungs des raumfesten Bezugssystems) ist (vgl. 1.7). Offenbar gilt $\bvec{x}_0'=$const , weil es sich ja um einen erdfesten Ortsvektor handelt. Folglich ist

$$\ddot{\bvec{x}}=\hat{D} \left[\ddot{\bvec{r}}'+2 \op{\omega}' \ti... ...c{r}') + \op{\bvec{\omega}}' \times (\op{\omega}' \times \bvec{x}_0') \right ].$$ (1.4.55)

In Erdnähe beschreibt der Beobachter die auf den Massepunkt wirkende Kraft durch
$\bvec{F}'=-m g (0,0,1)^t:=-m \bvec{g}'$ . Der Beobachter bezieht in diese Kraft jedoch auch den konstanten Anteil der Trägheitskraft, d.h. die Zentrifugalkraft

$$\bvec{F}_0'=m \op{\bvec{\omega}} \times (\op{\omega} \times \bvec{x}_0')$$ (1.4.56)

auf einen in seinem Standpunkt ruhenden Körper, mit ein, d.h. die Bewegungsgleichung für unseren frei fallenden Körper lautet, vom erdfesten Beobachter aus betrachtet:

$$m \left [\ddot{\bvec{r}}'+2 \op{\omega}' \times \dot{\bvec{r}}' +... ...\bvec{\omega}}' \times (\op{\omega}' \times \bvec{r}') \right ] = - m \bvec{g}.$$ (1.4.57)

Bringt man die Bewegungsgleichung auf die Form

$$m \ddot{\bvec{r}}'=-m \bvec{g} - m \left [2 \op{\omega}' \times \... ...vec{r}}' + \op{\bvec{\omega}}' \times (\op{\omega}' \times \bvec{r}') \right ],$$ (1.4.58)

kann man die Terme, die aufgrund der nichtinertialen Natur des rotierenden Bezugssystems auftreten, als Trägheitskräfte interpretieren. Diese setzen sich aus der Corioliskraft $2 \op{\omega}' \times \bvec{r}'$ und der Zentrifugalkraft $\op{\omega}' \times (\op{\omega}' \times \op{r}')$ zusammen.

Da nun weiter $\omega \ll 1/\Delta t$ , wobei $\Delta t \simeq 1 \; \mathrm{sec}$ die Fallzeit des betrachteten Körpers bezeichnen soll, können wir die Zentrifugalkraft $\propto r \omega^2 \ll g$ vernachlässigen.

Nach Komponenten aufgespaltet lautet die so vereinfachte Gleichung

$$\begin{split}\frac{\d^2 r'{}^1}{\d t^2} &= 2 \omega \frac{\d ... ... 2 \omega \frac{\d r'{}^2}{\d t} \sin \vartheta -g. \end{split}$$ (1.4.59)

Als Anfangsbedingungen ($t=0$ ) wählen wir, daß der Massepunkt aus der Höhe $h$ mit der Geschwindigkeit 0 losgelassen wird. Ferner schreiben wir $\dot{r}'{}^1=\d r'{}^1/\d t$ usw.

$$r'{}^1(0)=r'{}^2(0)=0, \; r'{}^3(0)=h, \; \dot{r}'{}^1(0)=\dot{r}'{}^2(0)=\dot{r}'{}^3(0)=0.$$ (1.4.60)

Integration der ersten und dritten der Bewegungsgleichungen (1.4.59) ergibt unter Berücksichtigung dieser Anfangsbedingungen

$$\dot{r}'{}^1 = 2 \omega r'{}^2 \cos \vartheta, \; \dot{r}'{}^3=2 \omega r'{}^2 \sin \vartheta - g t.$$ (1.4.61)

Setzen wir dieses Resultat in die zweite Bewegungsgleichung ein, ergibt sich

$$\ddot{r}'{}^2+ 4 \omega^2 r'{}^2 = 2 \omega g t \sin \vartheta.$$ (1.4.62)

Dies ist eine inhomogene Schwingungsgleichung, deren allgemeine Lösung die Summe aus der allgemeinen Lösung der homogenen Gleichung

$$\ddot{r}_H'^2 + 4 \omega^2 r_H'^2=0$$ (1.4.63)

ist, die in reeller Form durch

$$r_H'^2(t)=C_1 \cos(2 \omega t) + C_2 \sin (2 \omega t)$$ (1.4.64)

gegeben ist, und einer speziellen Lösung der inhomogenen Gleichung. Der Ansatz $y_I'=C t$ ergibt schließlich eine solche Lösung der inhomogenen Gleichung zu

$$r_I'^2(t)=\frac{g t \sin \vartheta}{2 \omega}.$$ (1.4.65)

Die Integrationskonstanten $C_1$ und $C_2$ werden schließlich vermöge der Anfangsbedingungen (1.4.60) bestimmt, und die Lösung für $r'{}^2$ lautet schließlich:

$$r'{}^2(t)=\frac{g t \sin \vartheta}{2 \omega} - \frac{g \sin \vartheta}{4 \omega^2} \sin(2 \omega t).$$ (1.4.66)

Einsetzen in (1.4.61) erfordert nur noch eine Integration unter Berücksichtigung von (1.4.60), um zum gesuchten Resultat zu gelangen:

$$\begin{split}r'{}^1(t) &=g \sin \vartheta \cos \vartheta \lef... ...mega^2} + \frac{t^2}{2} \right) -\frac{g}{2}t^2 +h. \end{split}$$ (1.4.67)

Im Gegensatz zum freien Fall in einem Inertialsystem, die einfach eine beschleunigte Bewegung mit der Fallbeschleunigung $g$ in $z$ -Richtung ergeben hätte, ist auf der rotierenden Erde sowohl eine Ostabweichung als auch eine Südabweichung feststellbar. Durch Taylorentwicklung bis zu Gliedern der Ordnung $\omega^2$ , erhält man

$$\begin{split}r'{}^1(t)&=\frac{g}{6}\cos \vartheta \sin \varth... ...ac{g}{6} \sin^2 \vartheta \omega^2 t^4+O(\omega^4). \end{split}$$ (1.4.68)

Ein historisch wichtiges Experiment für den direkten Nachweis der Erddrehung, das ebenfalls auf Inertialeffekten beruht, ist der Foucaultsche Pendelversuch, den wir im folgenden Kapitel behandeln werden, wenn uns der mächtige mathematische Apparat der kanonischen Mechanik zur Verfügung steht.