Kanonische Mechanik

Die Grundlagen der Mechanik sind nunmehr formuliert, und im Prinzip ist alles gesagt, was es zur Newtonschen Mechanik zu sagen gibt. Allerdings hat sich herausgestellt, daß die im folgenden dargestellte mathematische Ausformulierung der Theorie in Form von Extremalprinzipien nicht nur eine mathematisch elegantere Beschreibung von konkreten Problemen und eine systematische Bewältigung des Integrationsproblems für Bewegungsgleichungen darstellt, sondern auch unverzichtbar für das Verständnis der Quantentheorie ist.

Wir nähern uns der Theorie zunächst von der Fragestellung her, wie wir auf einfache Weise die Bewegungsgleichungen in beliebigen Koordinaten formulieren können. Bisher waren wir auf kartesische Koordinaten angewiesen, die ja auch in gewisser Hinsicht die natürliche Beschreibungsweise für die Mechanik von Punktsystemen darstellt, ist doch der Raum ein euklidischer affiner Punktraum. Andererseits gibt es Probleme, die aufgrund ihrer Symmetrie besser durch ihnen angepaßte Koordinaten gelöst werden können. Wir suchen also nach einer Formulierung der Mechanik, die es uns ermöglicht, beliebige Koordinaten $q^k$ mit $k=1 \ldots f$ einzuführen. Die Zahl der Freiheitsgrade $f$ des Systems muß auch nicht $3N$ betragen, können doch die Massepunkte durch bestimmte Zwangsbedingungen eingeschränkt sein, etwa beim mathematischen Pendel auf eine Kreisbahn oder beim Fadenpendel auf die Oberfläche einer Kugel.