Die Euler-Lagrangegleichungen

Bis jetzt haben wir aber nur eine Formulierung der Mechanik in kartesischen Koordinaten eines Inertialsystems zur Verfügung, so daß wir die Transformation in kartesische Koordinaten

$$\bvec{x}_i=\bvec{x}_i(q^1,\ldots,q^f), \; i \in \{1, \ldots, N \}$$ (2.1.1)

betrachten müssen, um zu den in den generalisierten Koordinaten ausgedrückten Bewegungsgleichungen zu gelangen.

Zunächst gilt aufgrund der Kettenregel für jeden der Vektoren $\bvec{x}_i$

$$\frac{\dd \bvec{x}}{\dd t}=\dot{q}^k \frac{\partial \bvec{x}}{\partial q^k},$$ (2.1.2)

wobei hier und im folgenden stets die Einsteinsche Summationskonvention zur Anwendung kommen soll. Dabei laufen die Indizes der generalisierten Koordinaten stets von $1$ bis $f$ . Jetzt ist es für die gesamte Mechanik nützlich, die Variablen $\dot{q}^k$ als freie Variablen betrachten zu können. Wir denken uns also unsere Ausdrücke im folgenden zunächst als Funktionen der unabhängigen Variablen $q^k$ und $\dot{q}^k$ , und erst wenn wir totale Zeitableitungen $\d /\d t$ bilden, lesen wir wieder $\dot{q}^k = \d q^k/\d t$ . Dann folgt aus (2.1.1) die wichtige Beziehung

$$\frac{\partial}{\partial \dot{q}^k} \frac{\dd \bvec{x}}{\dd t} = \frac{\partial \bvec{x}}{\partial q^k},$$ (2.1.3)

weil die Transformation (2.1.1) nur von den $q^k$ , nicht aber von den $\dot{q}^k$ abhängt.

Weiter gilt

$$\frac{\d}{\d t} \frac{\partial \bvec{x}}{\partial q^k} = \frac{\p... ...^j} \dot{q}^j \right) = \frac{\partial}{\partial q^k} \frac{\d \bvec{x}}{\d t}.$$ (2.1.4)

Mit diesen Beziehungen wenden wir uns nun der Newtonschen Grundgleichung für den Massepunkt zu

$$m_i \frac{\d^2 \bvec{x}_i}{\d t^2} = \bvec{F},$$ (2.1.5)

wobei $\bvec{F}$ die Komponenten der gesamten auf den Massenpunkt einwirkende Kraft ist, die sich aus der Wechselwirkung mit den übrigen Massepunkten und evtl. äußeren Kraftfeldern zusammensetzt.

Wir multiplizieren die Newtonsche Bewegungsgleichung mit $\partial \bvec{x}_i / \partial{q}^k$ und summieren über die Massenpunkte:

$$\sum_{i=1}^N m_i \frac{\d^2 \vec{x}_i}{\d t^2} \frac{\partial \ve... ... q^k} = \sum_{i=1}^N \bvec{F}_i\frac{\partial \bvec{x}_i}{\partial q^k} := Q_k.$$ (2.1.6)

Dabei bezeichnet man die $Q_k$ als generalisierte Kräfte.

Für jeden Massenpunkt gilt nun vermöge (2.1.3) und (2.1.4):

$$\frac{\d^2 \bvec{x}}{\d t^2} \frac{\partial \bvec{x}}{\partial q^... ...ial q^k} \right )-\frac{\partial}{\partial \dot{q}^k} \frac{\d \bvec{x}}{\d t}.$$ (2.1.7)

Dies in (2.1.6) eingesetzt ergibt für die linke Seite:

$$\sum_{i=1}^N m_i \frac{\d^2 \bvec{x}_i}{\d t^2} \frac{\partial \b... ...}{\d t} \frac{\partial}{\partial \dot{q}^k} \frac{\d \bvec{x}_i}{\d t} \right].$$ (2.1.8)

Die beiden Summanden lassen sich nun in der folgenden Weise umformen:

$$\begin{split}\sum_{i=1}^N m_i \frac{\d}{\d t} \left ( \frac{\... ...i}{2} \left ( \frac{\d \bvec{x}_i}{\d t} \right)^2. \end{split}$$ (2.1.9)

Definieren wir nun die Funktion

$$T(q^k,\dot{q}^k)=\sum_{i=1}^N \frac{m_i}{2} \left ( \frac{\d \bvec{x}_i}{\d t} \right )^2,$$ (2.1.10)

die kinetische Energie genannt wird, können wir aufgrund der obigen Umformungen für (2.1.5) schreiben

$$\frac{\d}{\d t} \frac{\partial T}{\partial \dot{q}^k} - \frac{\partial T}{\partial q^k}=Q_k.$$ (2.1.11)

Das ist ein Satz von $f$ Differentialgleichungen 2. Ordnung für den Satz der $f$ generalisierten Koordinaten $q^k$ .

Diese Gleichungen lassen sich noch wesentlich einfacher formulieren, wenn die Kräfte auf jeden Massepunkt ein Potential besitzen, d.h. wenn eine skalare Funktion $V(t,\bvec{x}_i)$ existiert, so daß

$$\bvec{F}_i=-\nabla_i V=-\frac{\partial V}{\partial \bvec{x}_i}.$$ (2.1.12)

gilt. Aus der Vektoranalysis ist bekannt, daß dies lokal immer dann möglich ist, wenn in einer sternförmigen Umgebung um einen Punkt im $N$ -Teilchenraum gilt

$$\nabla_i \times \bvec{F}=\rot_i \bvec{F}=0 i=1 \ldots N.$$ (2.1.13)

Nehmen wir also an, daß die Kräfte diese Bedingung erfüllen, läßt sich auch die rechte Seite der Gleichung (2.1.6) als Ableitung nach den $q^k$ ausdrücken:

$$Q_k=\sum_{i=1}^N \bvec{F}_i \frac{\partial \bvec{x}_i}{\partial q... ...rtial \bvec{x}_i}{\partial q^k} \nabla_i V = - \frac{\partial V}{\partial q^k}.$$ (2.1.14)

Definieren wir nunmehr die Lagrangefunktion durch

$$L(t,q^k,\dot{q}^k)=T-V$$ (2.1.15)

so schreibt sich die Newtonsche Bewegungsgleichung schließlich in der Form

$$\frac{\d}{\d t} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}^k} - \frac{\partial L}{\partial q^k}=0.$$ (2.1.16)

Die Bewegung ist damit vollständig durch den Skalar $L$ charakterisiert. Die Gleichungen (2.1.16) heißen Euler-Lagrangegleichungen.

Zur Integration der Bewegungsgleichungen leisten sie insofern gute Dienste als sie die Einführung beliebiger generalisierter Koordinaten gestatten, ohne daß sich ihre Form ändert. Dies ergibt sich unmittelbar aus unserer Herleitung. Wie wir im folgenden aber sehen werden, ergeben sich noch wesentlich wichtigere analytische Folgerungen aus ihnen. Sie gestatten insbesondere die elegante Behandlung von Symmetrien eines Problems und damit eine Möglichkeit, bereits durch die dem Problem angepaßte Wahl generalisierter Variabler die Integration der Bewegungsgleichungen bedeutend zu erleichtern.

Als wichtige Folgerung aus (2.1.16) können wir jedoch schon jetzt den einfachen Schluß ziehen, daß eine generalisierte Koordinate $q^k$ dann besonders einfacher Gleichungen genügt, wenn die Lagrangefunktion von ihr unabhängig ist. Die Koordinate geht dann nur in dem oben genau auseinandergesetzten Sinne durch $\dot{q}^k$ in die Lagrangefunktion ein. Für diese Koordinate sagt dann (2.1.16) nämlich

$$\frac{\d}{\d t} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}^k}=\frac{\partial L}{\partial q^k}=0 \Rightarrow p_k:=\frac{\partial L}{\partial \dot{q}^k}= .$$ (2.1.17)

Das bedeutet, daß in diesem Falle der sog. generalisierte Impuls $p_k$ eine Erhaltungsgröße entlang der Trajektorie $q^j(t)$ des Systems ist. Eine solche generalisierte Koordinate heißt zyklisch. Diese Namensgebung werden wir aber erst später genauer begründen, wenn wir kompliziertere mathematische Methoden entwickelt haben werden. Es ist also erstrebenswert, solche generalisierte Koordinaten zu wählen, daß möglichst viele von ihnen zyklisch sind. Hängt die Lagrangefunktion eines Systems aber von einer generalisierten Koordinate nicht ab, ist dies Ausdruck einer Symmetrie dieses Systems. Wir werden weiter unten den Zusammenhang zwischen Symmetrien und Erhaltungsgrößen noch systematisch untersuchen.

Wir wenden uns nun der Zeit zu, die ja keine generalisierte Koordinate ist, sondern der Parametrisierung der Trajektorien dient. Betrachten wir die Zeitableitung der Lagrangefunktion entlang einer beliebigen Bahn, die nicht unbedingt Lösung der Bewegungsgleichung sein muß, so haben wir die Zeitabhängigkeit der Lagrangefunktion, die durch die Zeitabhängigkeit der generalisierten Koordinaten und Geschwindigkeiten und eventuell eine explizite Zeitabhängigkeit zu berücksichtigen. Das bedeutet nach der Kettenregel

$$\frac{\d L}{\d t}=\frac{\partial L}{\partial q^k} \dot{q}^k + \frac{\partial L}{\partial \dot{q}^k} \ddot{q}^k + \frac{\partial L}{\partial t}.$$ (2.1.18)

Für die Trajektorie des Systems gelten die Euler-Lagrange-Gleichungen, so daß wir für sie schreiben können

$$\frac{\d L}{\d t}=\frac{\d}{\d t}\frac{\partial L}{\partial \dot{... ...rtial L}{\partial \dot{q}^k} \dot{q}^k \right) + \frac{\partial L}{\partial t}.$$ (2.1.19)

Ist nun $L$ nicht explizit zeitabhängig, d.h. verschwindet die explizite Zeitableitung auf der rechten Seite der vorigen Gleichung, ergibt sich sogleich, daß die Größe

$$H=\frac{\partial L}{\partial \dot{q}^k} \dot{q}^k-L$$ (2.1.20)

eine Erhaltungsgröße entlang der Trajektorie des Systems ist. Diese Erhaltungsgröße heißt Energie des Systems. Falls $L$ homogen von zweitem Grade in den $\dot{q}^k$ ist, wie es für die Newtonsche Mechanik der Fall ist, so gilt

$$\frac{\partial L}{\partial \dot{q}^k} \dot{q}^k = 2 T-L = 2 T-(T-V)=T+V.$$ (2.1.21)

Daher heißt das Potential der Kraft $V$ in diesem Zusammenhang auch die potentielle Energie und $T$ Translations- oder kinetische Energie.