Beispiel: Freier Fall im homogenen Schwerefeld

An diesem sehr einfachen Beispiel wollen wir die Bedeutung der obigen Entwicklungen aufzeigen, wie wir die unmittelbar geometrisch einleuchtende Symmetrie durch Wahl geeigneter Koordinaten ausnutzen können.

Klar ist, daß sich in diesem Fall kartesische Koordinaten anbieten, wobei durch das homogene Schwerefeld eine Richtung ausgezeichnet ist. Das Problem ist komplett symmetrisch in der Ebene senkrecht zur Richtung des Schwerefeldes. Die kartesischen Koordinaten bieten weiter den Vorteil, daß $T$ nicht von den generalisierten Koordinaten abhängt. Es erscheint also sinnvoll, das Koordinatensystem so zu legen, daß das Schwerefeld in z-Richtung verläuft $\bvec{g}=-g \bvec{e}_z$ . Mit anderen Worten wird durch das homogene Kraftfeld die volle Symmetrie des euklidischen Raumes durch Auszeichnung einer Vorzugsrichtung gebrochen, und es ist sinnvoll, in dieser Vorzugsrichtung einen Basisvektor $\bvec{e}_z$ des Koordinatensystems zu legen, weil dann zu erwarten ist, daß die Lagrangefunktion nicht von den beiden anderen Koordinaten abhängen wird. Stellen wir also die Lagrangefunktion in dieser Parametrisierung des Problems auf. Gemäß (2.1.10) und (2.1.12) gilt:

$$T=\frac{m}{2}(\dot{x}^2+\dot{y}^2+\dot{z}^2), \; \bvec{F}=-\nabla V =-m g \bvec{e}_z \Rightarrow V=m g z.$$ (2.1.22)

Damit folgt

$$L=T-V=\frac{m}{2}(\dot{x}^2+\dot{y}^2+\dot{z}^2)-m g z.$$ (2.1.23)

Wie wir wegen der Symmetrie des Problems bereits erwartet haben, sind $x$ und $y$ zyklische Koordinaten, und das bedeutet gemäß (2.1.17), daß die dazugehörigen generalisierten Impulse

$$p_x=\frac{\partial L}{\partial \dot{x}}=m \dot{x}= , \; p_y=\frac{\partial L}{\partial \dot{y}}=m \dot{y}=$$ (2.1.24)

Konstanten der Bewegung sind. Damit sind aber die Gleichungen für $x$ und $y$ unmittelbar integrierbar:

$$x(t)=\frac{p_x}{m} t + x_0, \; y(t)=\frac{p_y}{m}t + y_0.$$ (2.1.25)

Weiter wissen wir aus (2.1.20) und (2.1.21), daß auch die Energie eine Erhaltungsgröße ist, weil die Lagrangefunktion nicht explizit von der Zeit abhängt. Folglich ist also

$$H=p_k \dot{q}^k-L=T+V=\frac{m}{2} (\dot{x}^2+\dot{y}^2+\dot{z}^2)+m g z = E= .$$ (2.1.26)

Ersetzen wir $\dot{x}$ und $\dot{y}$ durch die Konstanten $p_x$ und $p_y$ , läßt sich auch die Gleichung für $z$ unmittelbar integrieren:

$$z=-\frac{g}{2}(t-c)^2+\frac{1}{mg} \left[E-\frac{p_x^2+p_y^2}{2m} \right].$$ (2.1.27)

Die Lösung enthält entsprechend den Anfangsbedingungen, die festzulegen sind, $6$ Integrationskonstanten. Davon sind $p_x$ , $p_y$ und $E$ die Erhaltungsgrößen (1. Integrale der Bewegung) aus der Symmetrie der Lagrangefunktion und $x_0$ , $y_0$ und $c$ die bei der Lösung der verbleibenden Differentialgleichungen 1. Ordnung anfallenden Integrationskonstanten.

Es ist klar, daß in diesem einfachen Fall die unmittelbare Integration der Newtonschen Bewegungsgleichung $m \d_t^2 \bvec{x}=-m g \bvec{e}_z$ viel schneller zu dem gleichen Resultat geführt hätte. Das trifft aber nicht mehr zu, wenn man es mit komplizierteren Bewegungen zu tun hat, bei denen die Einführung nichtkartesischer Koordinaten vorteilhaft sein kann.