Das Hamiltonsche Prinzip

Im folgenden wollen wir die Lagrangegleichung von einem höheren Standpunkt aus beleuchten, der im folgenden große analytische Vorzüge gegenüber dem direkten Studium der Bewegungsgleichungen bietet. Wir können nämlich die Bewegungsgleichungen auch als Extremalprinzip formulieren.

Dazu betrachten wir zunächst einmal die einfachste Grundaufgabe der Variationsrechnung. Es sei mit $C^2(\R,\R^n)$ der Raum der mindestens zweimal stetig differenzierbaren Funktionen $\phi:\R \rightarrow \R^n$ bezeichnet. Es ist klar, daß die Bahnkurven der Newtonschen Mechanik als Lösungen einer Differentialgleichung zweiter Ordnung genau in diese Klasse fallen, zumindest dann, wenn die Bahn fern von Stellen bleibt, an denen die Kräfte ggf. singulär werden.

Sei nun weiter durch die Abbildung

$$I: C^2(\R,\R^n) \rightarrow \R: \; I[\phi]=\int_{t_1}^{t_2} \d t F[\phi(t),\dot{\phi}(t),t] F: \R^n \times \R^n \times \R \rightarrow \R$$ (2.2.1)

das Funktional $I$ gegeben, wobei $F$ eine wenigstens zweimal stetig nach ihren unabhängigen Veränderlichen differenzierbare Funktion sein soll. Wir fragen nun, welche Trajektorie $\phi$ durch fest gegebene Punkte $y_1=\phi(t_1)$ und $y_2=\phi(t_2)$ dieses Funktional extremal macht. Dazu variieren wir die Trajektorie $\phi$ um $\delta\phi(t)=\lambda \eta(t)$ , wobei $\lambda \in \R$ und $\eta\in{}C^2(\R,\R^n)$ beliebig mit $\eta(t_1)=\eta(t_2)=0$ ist. Damit $\phi$ eine extremale Bahn bei den gegebenen Randbedingungen sein kann, muß notwendig für alle diese ,,erlaubten`` $\eta$ gelten:

$$\frac{\d}{\d \lambda} I[\phi+\lambda \eta]_{\lambda=0} = \int_{t_... ...i^k} \eta^k + \frac{\partial F}{\partial \dot{\phi}^k} \dot{\eta}^k \right] =0.$$ (2.2.2)

gelten.

Durch partielle Integration des zweiten Summanden unter Ausnutzung der Randbedingungen $\eta(t_1)=\eta(t_2)=0$ erhalten wir

$$\int_{t_1}^{t_2} \d t \left [ \frac{\partial F}{\partial \phi^k} - \frac{\d}{\d t} \frac{\partial F}{\partial \dot{\phi}^k} \right] \eta_k = 0.$$ (2.2.3)

Da die $\eta_k$ völlig unabhängig voneinander sind, können wir alle bis auf eines (etwa $\eta_1$ ) zu 0 machen. Das heißt es muß gelten

$$\int_{t_1}^{t_2} \d t \left [\frac{\partial F}{\partial \phi^1} - \frac{\d}{\d t} \frac{\partial F}{\partial \dot{\phi}^1} \right] \eta_1 = 0.$$ (2.2.4)

Nun benötigen wir den folgenden Satz:

Satz 1 (Fundamentallemma der Variationsrechnung)   Sei $f$ eine stetige Funktion $f:[t_1,t_2] \rightarrow \R$ . Gilt dann für jede beliebig oft stetig differenzierbare Funktion $g:\R\rightarrow \R$ mit $g(t_1)=g(t_2)=0$

$$\forall C^{\infty}(\R,\R): \; \int_{t_1}^{t_2} \d t f(t) g(t) = 0,$$ (2.2.5)

so gilt $f(t)=0$ für alle $t \in (t_1,t_2)$ .

Beweis:

Als ersten Schritt beweisen wir, daß die Funktion

$$m:\R \rightarrow \R: \; m(x)= \begin{cases}\exp \left (- \frac{1}... ...u}r } \vert x\vert<1 \ 0 & \text{ f\uml {u}r } \vert x\vert \geq 1 \end{cases}$$ (2.2.6)

eine überall beliebig oft stetig differenzierbare Funktion ist. Sie erfüllt dies mit Sicherheit in den offenen Mengen $(-1,1)$ , $(-\infty,-1)$ und $(1,\infty)$ . An den Stellen $x=\pm 1$ besitzt die für das Intervall $(-1,1)$ zur Definition benutzte Funktion Ableitungen, die das Produkt einer rationalen Funktion mit Polen bei $x=\pm 1$ multipliziert mit dem Differentialausdruck darstellen. Der Exponentialausdruck konvergiert allerdings für $x \rightarrow \pm 1$ stärker gegen 0 als jedes Polynom, so daß der Grenzwert jeweils 0 ergibt. Damit sind aber alle Ableitungen von $m$ wie $m$ selbst stetig bei $x=\pm 1$ .

Zum Beweis des Satzes nehmen wir nun an, es gäbe eine Stelle $t_0\in{}(t_1,t_2)$ mit $f(t_0) \neq 0$ . Da $f$ nach Voraussetzung stetig ist, existiert eine Umgebung $U_a(t_0)=[t-a,t+a]\cap{}(t_1,t_2)$ , in der $f$ beständig dasselbe Vorzeichen besitzt wie an der Stelle $t_0$ .

Die Funktion

$$\mu(t) = m \left( \frac{t-t_0}{a} \right)$$ (2.2.7)

ist nun in der besagten Umgebung $U_a(t_0)$ positiv und beliebig oft differenzierbar. Im Widerspruch zur Voraussetzung gilt also offenbar

$$\int_{t_1}^{t_2} \d t f(t) \mu(t) = \int_{U_a(t_0)} \d t f(t) \mu(t) \neq 0,$$ (2.2.8)

denn der Integrand besitzt im Integrationsbereich gemäß unserer Konstruktion beständig dasselbe Vorzeichen und ist nicht beständig 0 . Da aber das Integral nach Voraussetzung verschwindet, muß die Annahme, daß für irgendein $t_0 \in (t_1,t_2)$ gilt $f(t_0) \neq 0$ , falsch sein, also ist $f \equiv 0$ in $(t_1,t_2)$ . q.e.d.

Wenden wir das Lemma nun auf unsere Forderung (2.2.4) an. Demnach muß die Klammer des Integranden in $[t_1,t_2]$ identisch verschwinden, da $\eta_1$ willkürlich aus $C^2\supseteq C^{\infty}$ gewählt werden kann. Damit folgt aber, daß die das Funktional $I$ extremierende Funktion $\phi^k$ notwendig die Gleichung

$$\frac{\partial F}{\partial \phi^k}- \frac{\d}{\d t} \frac{\partial F}{\partial \dot{\phi}^k}=0$$ (2.2.9)

erfüllen muß. Das sind die Eulerschen Gleichungen der Variationsrechnung.

Sie stimmen nun genau mit den Euler-Lagrangegleichungen der Mechanik überein. Wir gelangen damit zu einer Beschreibung der Trajektorien eines mechanischen Systems als Extremalprinzip, dem Hamiltonschen Prinzip:

Ein dynamisches System sei mit $f$ unabhängigen generalisierten Koordinaten $q^k$ formuliert, und es existiere eine im obigen Sinne erklärte erklärte Lagrangefunktion $L=T-V$ . Dann verläuft die tatsächliche Bewegung so, daß das Wirkungsfunktional

$$I[q]=\int_{t_1}^{t_2} \d t L[q(t),\dot{q}(t),t]$$ (2.2.10)

unter den Nebenbedingungen

$$q(t_1)=q_1, \; q(t_2)=q_2$$ (2.2.11)

extremal wird.