Zwangsbedingungen

Die soeben gegebene Formulierung der Mechanik als Extremalprinzip erlaubt die einfache Erweiterung der behandelten dynamischen Systeme auf sogenannte erzwungene Bewegungen. Diese Erweiterung gibt aber weitere Erkenntnisse hinsichtlich der formalen Struktur der Mechanik. Durch Einführung generalisierter Koordinaten für ein mechanisches System von $n$ Massepunkten, deren Bewegung auf eine in $\R^{3n}$ eingebettete differenzierbare $f$ -dimensionale Mannigfaltigkeit eingeschränkt wird, haben wir nämlich nichts anderes als eine Karte dieser $f$ -dimensionalen Mannigfaltigkeit definiert. Wir können uns z.B. vorstellen, daß die Bewegung eines Massepunktes auf eine Kugeloberfläche eingeschränkt wird, etwa indem er an einer (masselos gedachten) starren Stange befestigt wird, die in einem Kugellager aufgehängt frei um einen Punkt rotieren kann. In diesem Falle ist die Untermannigfaltigkeit eine Kugelfläche, also $f=2$ .

Wir wenden uns nun der formalen Behandlung solcher Bewegungen im Rahmen des Hamiltonschen Prinzips zu. Dabei nehmen wir an, daß die Mannigfaltigkeit des Systems nicht allein durch eine Karte, also die Einführung generalisierter Koordinaten, sondern auch durch Zwangsbedingungen der Form

$$\sum_{k=1}^f f_k^{(i)}(q,t) \d q^k=0, \; i \in \{1,2,\ldots,r\}, \; r<f$$ (2.3.1)

bestimmt wird.

Dabei sind $\d q^k$ die sog. Koordinatendifferentiale. Auf eine mathematisch einwandfreie Definition dieses Begriffs gehen wir in Anhang A näher ein. Ein Spezialfall liegt vor, wenn es eine Funktion $\Phi^{(i)}:\R^f \times \R \rightarrow \R$ gibt, so daß

$$f_k^{(i)}(q,t)=\frac{\partial \Phi^{(i)}(q,t)}{\partial q^k}$$ (2.3.2)

gilt. In diesem Falle nennen wir die Zwangsbedingungen holonom, andernfalls anholonom. Die Mannigfaltigkeit wird dann einfach durch die Forderungen $\Phi^{(i)}(q,t)=$const eingeschränkt. Wie wir sehen werden, stellen anholonome Zwangsbedingungen für die Aufstellung der Bewegungsgleichungen mit Hilfe des Hamiltonschen Prinzips keine größeren Probleme dar als solche mit holonomen Bedingungen. Eine weitere Klassifikation der Zwangsbedingungen ergibt sich, je nach dem, ob die $f_k^{(i)}$ explizit zeitabhängig sind oder nicht. Im letzteren Falle heißen sie skleronom, andernfalls rheonom.

Für die Aufstellung der Bewegungsgleichung spielt all dies aber keine besondere Rolle. Betrachten wir nun noch einmal unsere Herleitung der Eulerschen Gleichung aus der Variationsrechnung. Wir hatten für das Wirkungsfunktional die Bedingung

$$\delta I:=\int_{t_1}^{t_2} \d t \left [\frac{\partial L}{\partial... ...d t} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}^k} \right] \delta q^k \stackrel{!}{=} 0$$ (2.3.3)

gewonnen. Hierbei bezeichnen wir die früheren Funktionen $\eta_k$ suggestiv mit $\delta q^k$ . Wir konnten aber dann aufgrund des Fundamentallemmas der Variationsrechnung auf das Verschwinden der Klammer für jedes $k \in \{1,\ldots,n\}$ , also die Euler-Lagrangegleichungen, nur deshalb schließen, weil die $\delta{}q^k$ voneinander unabhängig waren.

Voraussetzungsgemäß gelten aber die $r$ Zwangsbedingungen (2.3.1). Wir haben ein Extremwertproblem mit Nebenbedingungen vor uns. Dies lösen wir dadurch, daß wir jede der Zwangsbedingungen (2.3.1) mit einem Lagrangeparameter $\lambda_i$ multiplizieren und zu der Variation der Wirkung im Hamiltonschen Prinzip addieren. Es gilt dann vermöge (2.3.1) und der Stationaritätsbedingung für das Wirkungsfunktional:

$$\int_{t_1}^{t_2} \left [ \frac{\d}{\d t} \frac{\partial L}{\parti... ...\partial q^{k}} - \sum_{i=1}^{r} \lambda_i f_k^{(i)} \right] \delta q^k \d t=0.$$ (2.3.4)

Wir können uns nun die ersten $f-r$ Koordinaten als unabhängige Koordinaten vorstellen; die übrigen sind dann durch die Zwangsbedingungen festgelegt. Vermöge unserer Lagrangeparameter brauchen wir aber nicht die explizite Auflösung der letzteren nach den ersten $f-r$ Koordinaten durchzuführen, denn diese bieten die Freiheit, die Gleichung

$$\frac{\d}{\d t} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}^k} - \frac{\partial L}{\partial q^{k}} -\sum_{i=1}^{r} \lambda_i f_k^{(i)} = 0 k=f-r+1,\ldots,f$$ (2.3.5)

zu verlangen. Dann folgt aus der Unabhängigkeit der $\delta q^k$ für $k=1,\ldots,f-r$ das Verschwinden desselben Ausdrucks auch für die übrigen Koordinaten:

$$\frac{\d}{\d t} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}^k} - \frac{\partial L}{\partial q^{k}} -\sum_{i=1}^{r} \lambda_i f_k^{(i)} = 0 k=1,\ldots,f-r .$$ (2.3.6)

Fassen wir das Ergebnis zusammen, stellen wir fest: Es sind $f$ Bedingungsgleichungen (2.3.5-2.3.6) zu erfüllen sowie $r$ Lagrangeparameter^2.1 zu bestimmen. Neben den Bewegungsgleichungen (2.3.5-2.3.6) stehen dazu noch die $r$ Zwangsbedingungen in der Form

$$f_k^{(i)} \dot{q}^k=0, \; i=1,\ldots,r$$ (2.3.7)

zur Verfügung.

Falls die Zwangsbedingungen holonom sind, d.h. Funktionen $\Phi^{(i)}(q,t)$ existieren, so daß (2.3.2) gilt, wir (2.3.5, 2.3.6) zu

$$\frac{\d}{\d t} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}^k}- \frac{\par... ...}} - \sum_{i=1}^{r} \lambda_i \frac{\partial}{\partial q^k} \Phi^{(i)}(q,t) = 0 k=1,\ldots,f .$$ (2.3.8)

Da die Zwangsbedingungen dann in der Form

$$\Phi^{(i)}(q,t)=0$$ (2.3.9)

formuliert werden können, können wir offenbar eine neue Lagrangefunktion

$$\tilde{L}(q,\dot{q},\lambda)=L+\sum_{i=1}^{r} \lambda_i \Phi^{(i)}(q,t).$$ (2.3.10)

Betrachten wir dann das Problem, die Wirkung stationär für beliebige voneinander unabhängigen Variationen $\delta q$ und $\delta \lambda$ zu machen, wobei die $\delta q$ an den Grenzen $t_1$ und $t_2$ des Wirkungsintegrals verschwinden, ergeben die Euler-Lagrangegleichungen offensichtlich gerade (2.3.5), (2.3.6) und (2.3.9). Das bedeutet, daß in diesem Falle das Hamiltonsche Variationsproblem mit Nebenbedingungen durch ein gewöhnliches Variationsproblem ohne Nebenbedingungen mit der Lagrangefunktion (2.3.10) mit zusätzlichen generalisierten Koordinaten $\lambda$ formuliert werden kann.

Ein Blick auf die Bewegungsgleichungen (2.3.5-2.3.6), die in der Literatur als Lagrangegleichungen 1. Art bezeichnet werden, und der Vergleich mit (2.1.11) zeigt, daß die Lagrangeparameter den Zwangsbedingungen durch Zusatzterme generalisierter Kräfte, die i.a. auch von den $\dot{q}$ abhängen werden, Rechnung trägt. Dies ist unmittelbar physikalisch begreiflich, erfordert doch die Aufprägung eines Zwangs auf das mechanische System wirkende Kräfte (technisch wichtig z.B. bei Lagerkräften), die daher auch Zwangskräfte genannt werden.