Beispiel: Schiefe Ebene

Wir wollen wieder auf das Beispiel eines Massepunktes im homogenen Schwerefeld der Erde zurückkommen. Diesmal soll aber der Massepunkt reibungsfrei auf einer Ebene gleiten. Wir legen den Koordinatenursprung eines kartesischen Koordinatensystems in diese Ebene, die dann durch die Zwangsbedingung

$$\bvec{n} \bvec{x}=0 \Rightarrow n_l \delta{x}_l=0$$ (2.3.11)

beschrieben wird. Hierbei ist $\bvec{n}$ der (willkürlich auf $1$ normierte) konstante Ebenennormalenvektor. Wir haben es also hier mit einer skleronomen und holonomen Zwangsbedingung (also $r=1$ ) zu tun.

Legen wir die $z$ -Achse des Koordinatensystems wieder senkrecht nach oben (also $\bvec{g}=-g \bvec{e}_z$ ), lautet die Lagrangefunktion

$$L=\frac{m}{2} \left(\frac{\d \bvec{x}}{\d t} \right) - mgz,$$ (2.3.12)

und die Lagrangegleichungen 1. Art ergeben sich mit dem Lagrangeparameter $\lambda$ zu

$$m \ddot{x}-n_1 \lambda=0, \; m \ddot{y}-n_2 \lambda=0, \; m \ddot{z} + mg - n_3 \lambda=0.$$ (2.3.13)

Wegen der Drehinvarianz des Problems können wir durch Drehung des Koordinatensystems um die $z$ -Richtung o.B.d.A. stets erreichen, daß $n_2=0$ ist. Dann lautet die Zwangsbedingung, die wir zu berücksichtigen haben, also:

$$n_1 \dot{x}+n_2 \dot{z}=0.$$ (2.3.14)

Wir müssen nun zwei Fälle unterscheiden. Sei zuerst $n_1 \neq 0$ . Dann folgt aus der ersten Bewegungsgleichung

$$\lambda=\frac{m}{n_1} \ddot{x}.$$ (2.3.15)

Wegen $n_2=0$ ist die zweite unmittelbar integrierbar:

$$y=c_1 t + c_2, \; c_1,x_2= .$$ (2.3.16)

Setzt man den Ausdruck für $\lambda$ in die zweite Gleichung ein, folgt unmittelbar

$$\dot{z}=-g t+\frac{n_3}{n_1} \dot{x}+c_3, \; c_3=0.$$ (2.3.17)

Schließlich erhalten wir $x$ aus der Zwangsbedingung

$$x=-\frac{n_3}{n_1} z = n_1 n_3 \left[ \frac{g}{2}t^2-c_3 t \right ] - \frac{n_3}{n_1} c_4.$$ (2.3.18)

Wir sehen, daß die Bewegung eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung in der Ebene ist:

$$\bvec{a}(t)=\d_t^2 \bvec{x}(t)=g n_1 (n_3,0,-n_1).$$ (2.3.19)

Die Beschleunigung liegt also in der Ebene und hat den Betrag $g n_1$ , was geometrisch aus der Skizze unmittelbar verständlich ist. Diese Kraft heißt aus naheliegenden Gründen die Hangabtriebskraft. Die Ebene nimmt die Zwangskraft $\lambda \bvec{n}$ , die Normalkraft auf. Es folgt

$$\lambda=\frac{m}{n_1} \ddot{x}=m n_3 g.$$ (2.3.20)

Die Gesamtkraft ist, wie es sein muß,

$$\bvec{F}=\bvec{F}_{\text{dyn}} -\bvec{F}_{\text{Z}}=m \d_t^2 \bvec{x} - \lambda \bvec{n}= -m g \bvec{e}_z.$$ (2.3.21)

Der andere Fall $n_1=0$ ist unmittelbar einsichtig und wird auch durch die formale Rechnung ohne Schwierigkeiten bestätigt: Die Ebene kompensiert die gesamte Gewichtskraft, und der Massepunkt bewegt sich innerhalb der Ebene folglich kräftefrei.

Die Kräfteverhältnisse an der schiefen Ebene: Die Gravitationskraft setzt sich aus der Hangabtriebskraft, die die dynamisch wirksame Kraft $\bvec{F}_{\text{dyn}}$ darstellt, und der durch die von der Ebene auf den Massenpunkt ausgeübte Zwangskraft $\bvec{F}_Z$ zu kompensierende Normalkraft $\bvec{F}_N$ , der Normalkraft, zusammen.