Das Foucaulte Pendel

Wir betrachten nun die Bewegung eines Pendels, das irgendwo auf der rotierenden Erde aufgehängt sei. Wie wir sehen werden, ist hier die Behandlung in kartesischen Koordinaten im erdfesten Bezugssystem unter Verwendung der holonomen Randbedingung, daß der Abstand zwischen Pendelkörper und Aufhängepunkt konstant sein muß, besonders einfach.

Wir beginnen mit der Bemerkung, daß man die Bewegungsgleichungen (1.4.58) aus dem Hamiltonschen Wirkungsprinzip mit der Lagrangefunktion

$$L=\frac{m}{2} \left [\dot{\bvec{r}}'{}^2+2\dot{\bvec{r}}' ( \op{\omega}' \times \bvec{r}') \right ] - m g r'{}^3$$ (2.3.22)

erhält. Das weist man unmittelbar durch Aufstellen der Bewegungsgleichungen mittels der Euler-Lagrangegleichungen nach. Systematisch läßt sich (2.3.22) herleiten, indem man von (1.4.50) ausgehend die kinetische Energie durch erdfeste Koordinaten ausdrückt und dann die in Abschnitt 1.4.6 durchgeführten Näherungen vornimmt.

Wir setzen den Aufhängepunkt des Pendels bei $\bvec{r}_0'=(0,0,l)^t$ an, wobei $L$ die Pendellänge bezeichnet. Die Koordinaten des Massepunktes schreiben wir dann als

$$\bvec{r}'=\begin{pmatrix}\xi \ \eta \ l-\zeta \end{pmatrix}.$$ (2.3.23)

Die Zwangsbedingung können wir dann in der Form

$$\Phi=\frac{m}{2} (\xi^2+\eta^2+\zeta^2-l^2) \stackrel{!}{=}0$$ (2.3.24)

schreiben. Da wir es hier mit holonomen Zwängen zu tun haben, können wir das Problem auf eine gewöhnliche Hamiltonsche Variationsaufgabe mit der modifizierten Lagrangefunktion (2.3.10)

$$\tilde{L}=L+\lambda \Phi(\xi,\eta,\zeta)$$ (2.3.25)

zurückführen. Die Euler-Lagrangegleichungen für die neuen generalisierten Koordinaten
$(\xi,\eta,\zeta,\lambda)$ lauten

$$\ddot{\xi} = 2 \omega \dot{\eta} \cos \vartheta + \lambda \xi,$$ (2.3.26)

$$\ddot{\eta} = - 2 \omega (\dot{\xi} \cos \vartheta+ \dot{\zeta} \sin \vartheta) + \lambda \eta,$$ (2.3.27)

$$\ddot{\zeta} =-2\omega \dot{\eta} + g + \lambda \zeta,$$ (2.3.28)

$$\xi^2+\eta^2+\zeta^2=l^2.$$ (2.3.29)

Wir wollen uns weiter auf kleine Schwingungen beschränken, d.h. wir nehmen an $\xi,\eta \ll l$ , so daß wir Größen der Ordnung $(\xi/l)^2$ bzw. $(\eta/l)^2$ vernachlässigen können. Aus (2.3.29) folgt dann

$$\zeta = l\sqrt{1-\frac{\xi^2+\eta^2}{l^2}}=l+\mathcal{O}\left(\frac{\xi^2+\eta^2}{l^2} \right ).$$ (2.3.30)

Unter Vernachlässigung von $2 \omega \dot{\eta}$ gegen $g$ folgt dann

$$\lambda=-\frac{g}{l}:=-\omega_0^2.$$ (2.3.31)

Dies in (2.3.26) und (2.3.27) eingesetzt, liefert schließlich

$$\begin{split}& \ddot{\xi}= 2 \omega' \eta - \omega_0^2 \xi, \ & \ddot{\eta}=-2 \omega' \xi - \omega_0^2 \eta \end{split}$$ (2.3.32)

mit $\omega'=\omega \cos \vartheta$ . Dieses Gleichungssystem können wir leicht lösen, indem wir die komplexe Variable

$$z=\xi+\ii \eta$$ (2.3.33)

einführen. Dann ergeben sich die Differentialgleichungen in (2.3.32) als Real- und Imaginärteil der einen Gleichung

$$\ddot{z}+2 \ii \omega' \dot{z}-\omega_0^2 z,$$ (2.3.34)

in die wir mit dem Ansatz

$$z=C \exp(\ii k t)$$ (2.3.35)

eingehen. Das liefert die quadratische Gleichung

$$k^2+2 k \omega'-\omega_0^2=0$$ (2.3.36)

mit den Lösungen

$$k_{1,2}=-\omega' \pm \underbrace{\sqrt{\omega'{}^2+\omega_0^2}}_{\omega_0'}.$$ (2.3.37)

Die allgemeine Lösung der Differentialgleichung (2.3.34) lautet demnach

$$z=\left [C_1 \exp(\ii \omega_0't) + C_2 \exp(-\ii \omega_0' t) \right ] \exp(-\ii \omega' t).$$ (2.3.38)

Wählen wir als Anfangsbedingung, daß wir zur Zeit $t=0$ das Pendel um eine Strecke $a \ll l$ nach Süden hin auslenken und aus der Ruhe loslassen, d.h.

$$\xi(0)=a, \quad \eta(0)=0,\quad \dot{\xi}(0)=\dot{\eta}(0)=0,$$ (2.3.39)

finden wir nach Bestimmung der Konstanten $C_1$ und $C_2$

$$z(t)=a \left [ \cos(\omega_0' t)+\ii \frac{\omega'}{\omega_0'} \sin(\omega_0' t) \right] \exp(-\ii \omega't).$$ (2.3.40)

Dies bedeutet, daß das Pendel mit relativ schnellen Schwingungen (Kreisfrequenz $\omega_0' \gg \omega'$ ) hin- und herschwingt, wobei sich die Schwingungsebene mit der Kreisfrequenz $\omega'=\omega \cos \vartheta$ langsam dreht. Eine vollständige Drehung hat die Dauer

$$T_{\text{rot}}=\left \vert\frac{2 \pi}{\omega \cos \vartheta} \right \vert.$$ (2.3.41)

Am Äquator, wo $\vartheta=\pi/2$ ist, dreht sich die Schweingungsebene überhaupt nicht, weil $\omega'=0$ , und das Pendel schwingt einfach beständig in der Nord-Südrichtung hin und her, und zwar mit der Kreisfrequenz $\omega_0$ , d.h. am Äquator verhält sich das Pendel wie auf einer nichtrotierenden Erde. An den Polen hingegen, wo $\theta=0$ bzw. $\theta=\pi$ rotiert die Pendelebene in $24 \; \mathrm{h}$ (am Nordpol im Uhrzeigersinn, am Südpol entgegengesetzt). An anderen Orten der Erde ist die Rotationsdauer um den Faktor $1/\vert\cos \vartheta\vert=1/\vert\sin(\Lambda)\vert$ länger. Dabei bezeichnet $\Lambda=\pi/2-\vartheta$ den Breitengrad des Beobachterstandpunktes. Auf der Nordhalbkugel dreht sich die Schwingungsebene im Uhrzeigersinne, auf der Südhalbkugel entgegengesetzt.

Das wird mathematisch noch deutlicher, wenn wir die Geschwindigkeit des Massepunktes betrachten. Dazu leiten wir (2.3.40) nach der Zeit ab:

$$\dot{z}(t)=-a \omega_0' \left (1-\frac{\omega'{}^2}{\omega_0'{}^2} \right ) \sin(\omega_0' t) \exp(-\ii \omega' t).$$ (2.3.42)

Bei jeder Halbschwingung, also für Zeiten $t_n$ , wo $\omega_0' t_n=n \pi$ , ist $\dot{z}=0$ , d.h. diese Zeiten markieren die Umkehrpunkte des Pendels. Der Exponentialfaktor beschreibt dabei die Rotation dieser Spitzen der Bahnkurve des Pendels, also die Drehung der Pendelebene wie oben beschrieben.