Das Noethersche Theorem

Wir betrachten nun die Frage, welche Transformationen an der Lagrangefunktion vorgenommen werden dürfen, ohne daß sich die Bewegungsgleichungen, also die Euler-Lagrangegleichungen, ändern. Solche Lagrangefunktionen nennen wir im folgenden zueinander äquivalent, denn sie beschreiben das gleiche mechanische System, da ja die Euler-Lagrangegleichungen, also die Bewegungsgleichungen, identisch sind. Dazu ist es offenbar notwendig und hinreichend, daß die Variation des Wirkungsfunktionals (2.2.10) unverändert bleibt. Aus der Rechnung oben, die zur Aufstellung der der Euler-Lagrangegleichungen führte, erkennen wir, daß sie für zwei Lagrangefunktionen $L$ und $L'$ genau dann gleich sind, wenn es eine hinreichend glatte Funktion $F:\R^n \times \R \rightarrow \R$ gibt, so daß

$$L'(q,\dot{q},t)=L(q,\dot{q},t)+\frac{\d}{\d t} F(q,t)$$ (2.4.1)

gibt.

Dann gilt nämlich

$$\delta(I'-I)=\delta \int_{t_1}^{t_2} \d t \frac{\d F}{\d t} = \de... ...rt _{t_1}^{t_2}=\frac{\partial F}{\partial q^k} \delta q^k\vert _{t_1}^{t_2}=0,$$ (2.4.2)

weil die Variation $\delta q$ nach Vorschrift des Hamiltonschen Prinzips an den Randpunkten des Intervalls verschwindet.

Wir nehmen nun an, ein Problem sei forminvariant unter einer bestimmten hinreichend oft differenzierbaren Transformation der $q^k$ und $t$ :

$$q'=q+\delta q, \; t'=t+\delta t.$$ (2.4.3)

Dann gilt

$$\delta(\d t L) = (\delta L) \d t + L \delta (\d t).$$ (2.4.4)

Im Gegensatz zur Variation beim Hamiltonschen Prinzip wird bei dieser allgemeinen Transformation die Zeit mittransformiert. Folglich müssen wir die Variation der in $L$ vorkommenden Zeitableitungen $\dot{q}$ bestimmen:

$$\delta \dot{q}=\frac{\d(q+\delta q)}{\d(t+\delta t)} - \frac{\d q... ...a q)}{\d t} \left ( \frac{\d(t+\delta t)}{\d t} \right)^{-1}-\frac{\d q}{\d t}.$$ (2.4.5)

Nutzen wir weiter aus, daß bis auf Terme erster Ordnung in $\delta t$ gilt

$$\left ( \frac{\d(t+\delta t)}{\d t} \right)^{-1} = 1-\frac{\d \delta t}{\d t},$$ (2.4.6)

ergibt sich daraus in erster Ordnung in $\delta q$ und $\delta t$

$$\delta \dot{q}=\frac{\d \delta q}{\d t}-\dot{q} \frac{\d \delta t}{\d t}.$$ (2.4.7)

Weiter ergibt sich für das Zeitdifferential

$$\delta(\d t)=\d t'-\d t=\frac{\d \delta t}{\d t} \d t.$$ (2.4.8)

Damit nun die Euler-Lagrangegleichungen unter solchen Transformationen forminvariant bleiben, muß es gemäß (2.4.1) eine Funktion $\delta F(q,t)$ geben, so daß

$$\delta(L \d t) +\frac{\d}{\d t} \delta F(q,t)) \d t=0$$ (2.4.9)

ist. Setzen wir die oben durchgeführten Zwischenrechnungen ein, ergibt sich daraus die Bedingung für das Vorliegen einer Symmetrie:

$$\frac{\partial L}{\partial q^k} \delta q^k + \frac{\partial L}{\p... ...\partial t} \delta t + \frac{\d \delta F}{\d t} + L \frac{\d \delta t}{\d t}=0.$$ (2.4.10)

Wir untersuchen nun weiter, was sich aus dem Vorliegen einer Symmetrie für die Bewegung des Systems ergibt. Setzt man die Lösungen der Bewegungsgleichungen in die Symmetriebedingung (2.4.10) ein, folgt nach einigen Umformungen

$$\frac{\d}{\d t} \left [ \frac{\partial L}{\partial \dot{q}^k} \de... ...\frac{\partial L}{\partial \dot{q}^k} - L \right) \delta t + \delta F\right]=0.$$ (2.4.11)

Das bedeutet aber, daß die in den eckigen Klammern stehende Größe während der Bewegung des Systems zeitlich konstant ist. Das ist das