Galileiboostinvarianz und Schwerpunktsatz

Die Parametrisierung erfolgt wieder über kartesische Koordinaten. Ein infinitesimaler Galileiboost ist durch

$$\delta t=0, \; \delta \bvec{x}^{(i)} = t \delta \bvec{v} \delta \bvec{v}=$$ (2.5.11)

gegeben. Als Symmetriebedingung folgt daraus mit (2.4.10):

$$\delta \bvec{v} \sum_{i=1}^n \left [ \frac{\partial L}{\partial \... ...frac{\partial L}{\partial \dot{\bvec{x}}} \right] + \frac{\d}{\d t} \delta F=0.$$ (2.5.12)

Wie wir gleich sehen werden, benötigen wir hier nämlich zwingend ein $\delta F$ , das wir im übrigen auch bei der zeitlichen und räumlichen Translationsinvarianz und bei der Rotationsinvarianz hätten berücksichtigen können. Daß dies hier beim Schwerpunktsatz zwingend erforderlich wird, stellen wir hier nur fest.^2.2

Wir nehmen weiter an, das Systems sei translationsinvariant, so daß nach dem Impulserhaltungssatz der erste Term verschwinden muß. Damit bleibt nur noch übrig:

$$\frac{\d}{\d t} \delta F=-\delta \bvec{v} \sum_{i=1}^n \frac{\partial L}{\partial \dot{\bvec{x}}^{(i)}}$$ (2.5.13)

Wegen der allgemeinen Form

$$T=\sum_{i=1}^n \frac{m_i}{2} \left (\frac{\d \bvec{x}_k^{(i)}}{\d t} \right )^2 \delta F=-\delta \bvec{v} \sum_{i=1}^n m_i \bvec{x}^{(i)}$$ (2.5.14)

bis auf eine Konstante. Hierin besitzt $\delta F$ in der Tat die geforderte Form, hängt also nur von den $\bvec{x}^{(i)}$ und nicht auch von den Geschwindigkeiten ab. Aus (2.4.11) ergibt sich die dazugehörige Erhaltungsgröße zu

$$\sum_{i=1}^n (t \bvec{p}_i-m_i \bvec{x}^{(i)})=0,$$ (2.5.15)

d.h. das mit den Massen gewichtete Mittel der Ortsvektoren der Massenpunkte, der Schwerpunkt des Systems, bewegt sich geradlinig gleichförmig. Zur Ausnutzung dieser Symmetrie empfiehlt sich also die Einführung der Schwerpunktskoordinaten

$$\bvec{s}=\frac{\sum_{i=1}^n m_i \bvec{x}_i}{\sum_{i=1}^n m_i}$$ (2.5.16)

und die Einführung eines Bezugssystems, in dem der Gesamtimpuls verschwindet. Dann ist der
Schwerpunkt nämlich gemäß (2.5.15) eine Erhaltungsgröße. Man kann in diesem Sinne von der Erhaltung des Schwerpunktes sprechen. Bei frei gelassener Wahl des Bezugssystems bewegt sich der Schwerpunkt allerdings geradlinig gleichförmig.

Wir bemerken noch, daß wir im Rahmen der Newtonschen Mechanik annehmen, daß Galileiinvarianz gegeben ist. Das bedeutet, daß die zehn Erhaltungssätze stets erfüllt sind. Allerdings betrachtet man oft idealisierte Probleme, in denen das nicht der Fall ist, etwa wenn man die Bewegung von Teilchen in vorgegebenen elektromagnetischen Feldern beschreibt, indem man die Rückwirkung der Teilchen auf die Felder vernachlässigt. Es ist klar, daß die Felder selbst ebenfalls durch Teilchen (mit Ladungen) erzeugt werden. Betrachtet man also das Gesamtsystem, gelten wieder die 10 Erhaltungssätze. Wir sprechen daher von einem System, für das alle Erhaltungssätze gelten auch von einem abgeschlossenen System.