Zeitliche Translationsinvarianz und Energieerhaltung

Eine Zeittranslation ist durch

$$\delta t= , \; \delta q=0$$ (2.5.1)

definiert. Damit dies eine Symmetrietransformation ist, muß nach (2.4.10) gelten $\partial L/\partial t=0$ , d.h. die Lagrangefunktion darf nicht explizit von der Zeit abhängen. Ist dies der Fall, ist nach (2.4.11) die Größe

$$E=\frac{\partial L}{\partial \dot{q}^k} \dot{q}^k -L$$ (2.5.2)

während der Bewegung zeitlich konstant. Wir haben oben schon gesehen, daß diese Größe für eine Lagrangefunktion, die bzgl. der $\dot{q}$ homogen von zweiter Ordnung ist, mit der Gesamtenergie $T+V$ des Systems übereinstimmt. Wir werden daher allgemein die Erhaltungsgröße, die sich aus der zeitlichen Translationsinvarianz ergibt, als Energie bezeichnen.