Übungsaufgaben zum Keplerproblem

(1) Man untersuche den Fall verschwindenden Drehimpulses $l=0$ . Es erweist sich hier als vorteilhaft, vom Drehimpulssatz auszugehen. Welche Bahnform liegt vor und wie ist der zeitliche Ablauf der Bewegung?

(2) Zur Geometrie der Kegelschnitte gehen wir von der geometrischen Definition derselben aus:

Eine Ellipse (Hyperbel) ist der geometrische Ort der Menge aller Punkte einer Ebene, bei der die Summe (der Betrag der Differenz) von zwei Punkten, den Brennpunkten, immer gleich $2a$ ist.

Eine Parabel ist der geometrische Ort der Menge aller Punkte einer Ebene, bei der der Abstand von einem festen Punkt, dem Brennpunkt, gleich dem Abstand zu einer festen Geraden (der Leitgeraden) $2p$ ist.

Man stelle die drei Kegelschnittypen aufgrund der eben gegebenen Definitionen in ebenen Polarkoordinaten $(r,\phi )$ dar. Im Fall von Ellipse und Hyperbel sei die Achse $\phi=0$ durch die beiden Brennpunkte festgelegt. Im Fall der Parabel werde sie senkrecht zur Leitgeraden gewählt. Der Koordinatenursprung $r=0$ liege in einem Brennpunkt (vgl. Abb. 2.3).

Zur Polardarstellung der Ellipse: Es sind $a$ die große, $b$ die kleine Halbachse, $e$ die Exzentrizität.

Man bestimme durch Vergleich der oben hergeleiteten Lösungen des Keplerproblems die Bahnform in Abhängigkeit von der Energie des Systems. Zur Hilfe sei bemerkt, daß zu einer gegebenen Energie eine ganze Schar von Bahnkurven gehört.

Man zeige weiterhin, daß der Hodograph, d.h. die Menge der Endpunkte der Geschwindigkeitsvektoren entlang der Bahn, abgetragen von einem festen Punkt, ein Kreis ist.

(3) Aus der mit Hilfe der oben eingeführten Bahnkoordinate $s=1/r$ formulierten Form des Energiesatzes läßt sich die Zeit als Integral über $s$ ausdrücken. Das Integral läßt sich durch Substitution der sogenannten exzentrischen Anomalie explizit lösen (vgl. Skizze Abb. 2.4).

Zur exzentrischen Anomalie. Die Lage des Planeten $P$ läßt sich einerseits durch die bislang benutzten Polarkoordinaten $(r,\phi )$ , andererseits aber auch durch den Punkt $K$ auf einem Kreis mit dem Radius $a$ , d.h. durch den Winkel $u$ , die exzentrische Anomalie, festlegen.

Aus der Skizze liest man unter Zuhilfenahme der in (2) behandelten Geometrie der Ellipse

$$s=\frac{1}{r}=\frac{1-\epsilon^2}{p(1-\epsilon \cos u)}$$ (2.6.18)

wobei $\epsilon=e/a$ die exzentrische Anomalie ist. $e$ ist der halbe Brennpunktabstand. Es ergibt sich $t$ als Funktion von $u$ . Die Aufgabe der Umkehrung in die Form $u(t)$ ist die sog. Keplergleichung, die sich nicht geschlossen in Form elementarer Funktionen angeben läßt.

(4) Man berechne aus der Fläche der Ellipse $A=\pi a b$ (Beweis?) und dem zweiten Keplerschen Gesetz die Gesamtumlaufdauer des Quasiteilchens um das Quasizentrum. Was folgt daraus für die Planeten, wenn die Masse der Sonne sehr groß ist im Vergleich mit der Masse des Planeten? Um diesen letzten Punkt zu klären substituiere man wieder $K=\gamma m_1 m_2$ und $\mu=m_1 m_2/(m_1+m_2)$ . Das Ergebnis ist das dritte Keplersche Gesetz.