Räumliche Translationsinvarianz und Impulserhaltung

Wir betrachten die Parametrisierung des Systems in kartesischen Koordinaten $\bvec{x}^{(i)}$ , $i=1,\ldots n$ für Systeme aus $n$ Massepunkten. Soll das System unter der Translation in Richtung $\bvec{n}$ invariant sein, d.h. unter der Transformation

$$\delta t=0, \; \delta \bvec{x}^{(i)}=\bvec{n} \delta r, \delta r= ,$$ (2.5.3)

so muß gemäß (2.4.10)

$$\bvec{n} \sum_{i=1}^n \frac{\partial L}{\partial \bvec{x}^{(i)}}=0$$ (2.5.4)

gelten, d.h. heißt die Summe aller Kraftkomponenten in Richtung von $\bvec{n}$ muß verschwinden. Die dazugehörige Erhaltungsgröße ist

$$\bvec{p}=\bvec{n} \sum_{i=1}^n n^k \frac{\partial L}{\partial \dot{\bvec{x}}^{(i)}},$$ (2.5.5)

also die Impulskomponente in Richtung von $\bvec{n}$ .

Wir bemerken, daß diese Betrachtungen auch für verallgemeinerte Variable gelten, von denen die Lagrangefunktion nicht abhängt, d.h. $L$ hängt für ein bestimmtes $j$ von $\dot{q}^j$ , nicht aber von $q^j$ selbst ab. Dann liegt eine Symmetrie vor, die sich eben durch die ,,Translationsinvarianz`` bzgl. dieser generalisierten Koordinate ausdrückt. Dann ist der zu dieser zyklischen Koordinate gehörige Impuls erhalten oder ein sog. erstes Integral der Bewegung. Es ist also praktisch sinnvoll, Symmetrien durch entsprechende Wahl generalisierter Koordinaten dadurch zu berücksichtigen daß sich die Symmetrie einer Translation einer oder mehrerer dieser generalisierten Koordinaten ausdrückt.