Die Newtonschen Grundgesetze

Wir wollen im folgenden in die Newtonsche Mechanik ohne nähere Problematisierung der dabei postulierten Begriffsbildungen, die aus der Entwicklung der Relativitäts- und Quantentheorie erwachsen sind, einführen.

Dies ist insofern gerechtfertigt, als die Newtonsche Mechanik ein in sich abgeschlossenes Begriffsgebäude darstellt, wenn man auf die nähere Begründung der wirkenden Kräfte verzichtet. Diese können in unserem Rahmen als empirisch gegeben angesehen werden, setzen allerdings die im folgenden genauer auszuführenden und mathematisch zu formalisierenden Begriffsbildungen von Raum und Zeit voraus. Wir werden auf die Veränderungen, die die Relativitätstheorie an diesem Bild von Raum und Zeit erfordern, später eingehen.

Wir beginnen mit dem 1. Newtonschen Gesetz, der Lex prima:

Es existiert ein absoluter Raum, in dem die physikalischen Vorgänge ablaufen, der jedoch unabhängig von diesen Vorgängen existiert und durch einen orientierten dreidimensionalen euklidischen affinen Punktraum beschrieben wird.

Ferner existiert eine absolute Zeit, die unabhängig von den physikalischen Vorgängen abläuft und durch einen gerichteten reellen Strahl beschrieben wird.

Ein Körper, dessen äußere Ausdehnung gegenüber den Abmessungen seiner Bewegung vernachlässigt werden kann, bezeichnen wir als Massenpunkt.

Ein Massenpunkt bewegt sich geradlinig gleichförmig, solange er nicht durch äußere Einflüsse gezwungen wird, diesen Zustand der Bewegung zu verlassen.

Klarerweise müssen wir diese kurz zusammengefaßten Postulate der Raum-Zeit-Struktur mathematisch präzisieren. Zunächst betrachten wir den affinen Raum:

Ein affiner Raum ist ein Paar $(E,V)$ , wobei $E$ eine Menge ist, deren Elemente Punkte genannt werden und $V$ ein endlichdimensionaler Vektorraum $V$ , auf denen folgende algebraische Struktur definiert ist:

(A1)

Zu zwei Punkten $A,B \in E$ existiert genau ein Vektor $\vec{v}(A,B) \in V$ . Zu jedem Punkt $A \in E$ und jedem Vektor $\vec{v} \in V$ existiert genau ein Punkt $B \in E$ mit $\vec{v}=\vec{v}(A,B)$ .

(A2)

Für die Addition von Vektoren, die gemäß (A1) durch Paare von Punkten in $E$ festgelegt sind, gilt: $\vec{v}(A,B)+\vec{v}(B,C)=\vec{v}(A,C)$ .

(A3)

Ein affiner Raum $(E,V)$ heißt euklidisch, wenn $V$ ein euklidischer Vektorraum ist, d.h. $V$ ist ein endlichdimensionaler Vektorraum mit $\R$ als Skalarenkörper, und es ist eine positiv definite Bilinearform, die euklidische Metrik, ausgezeichnet. Die Bilinearform zwischen zwei Vektoren bezeichnen wir einfach mit $(\vec{x},\vec{y})$ oder $\vec{x} \vec{y}$ .

Wir bemerken, daß aus fundamentalen Sätzen der linearen Algebra bekannt ist, daß wenigstens eine Orthonormalbasis existiert: Sei der Vektorraum $n$ -dimensional. Dann ist $\{\vec{e}_j\}_{j=1 \ldots{}n}$ eine Orthonormalbasis, wenn $(\vec{e}_i,\vec{e}_j) = \delta_{ij}$ ist. Dabei ist $\delta_{ij}$ das Kroneckersymbol:

$$\delta_{ij} = \begin{cases}1 & \text{f\uml {u}r } i=j \ 0 & \text{f\uml {u}r } i \neq j \end{cases}$$ (1.1.1)

Ferner wird aus (A1) unmittelbar klar, daß wir durch Festlegung eines beliebigen Punktes $O \in E$ und einer Orthonormalbasis $\{\vec{e}_j\}_{j=1 \ldots{}n}$ jedem Punkt $X \in E$ vermöge^1.1 $\vec{v}(O,X)=\vec{e}_j v^j$ umkehrbar eindeutig ein $n$ -Tupel $\bvec{v} = (v^j) \in \R^n$ zuordnen können. Das Symbol $\bvec{v}$ steht dabei für das $n$ -Tupel aus den Vektorkomponenten $v^j$ , die wir uns in einer Spalte angeordnet vorstellen:

$$\bvec{v}=\begin{pmatrix}v^1 \ v^2 \ \ldots \ v^n \end{pmatrix}.$$ (1.1.2)

Dabei Wir bezeichnen das Paar $(O,\{\vec{e}_j \})$ als eine kartesische Basis des affinen euklidischen Raumes.

(A4)

Ein beliebiger affiner Raum heißt orientiert, wenn der dazugehörige Vektorraum orientiert ist. Dabei wird eine Orientierung durch eine willkürliche Basis $\{\vec{b}_i\}_{i=1\ldots n}$ bestimmt. Eine andere Basis $\{\vec{c}_j\}$ heißt gleich (entgegengesetzt) orientiert wenn die durch $\vec{c}_j = \vec{b}_i {A^{i}}_{j}$ festgelegte^1.2 Transformationsmatrix $({A^i}_j)$ eine positive (negative) Determinante besitzt.

Vermittels dieser algebraischen Definition des affinen euklidischen Raumes stehen uns über eine beliebige kartesische Basis sämtliche Hilfsmittel der mehrdimensionalen Analysis zur Verfügung. Andererseits müssen die Aussagen, die wir über ein physikalisches System machen, von der Wahl einer jeglichen Basis unabhängig sein.

Ebenso wie der Raum kann auch die Zeit als ein eindimensionaler affiner (euklidischer) orientierter Raum aufgefaßt werden, und wir können sie durch Auszeichnung eines Ursprungs und eines beliebigen Vektors $\vec{e}_t$ durch die reellen Zahlen $\R$ parametrisieren. Wir bezeichnen diesen ,,Zeitraum'' als $E_t$ und den ,,Raumraum'' als $E_r$ . Dann können wir die Raum-Zeit zu einem affinen Raum, die Galilei-Newtonsche Raum-Zeit oder auch kurz als die Welt zusammenfassen zu $E_t \times E_r$ , und dieser Raum bildet in kanonischer Weise ebenfalls einen affinen Raum. Es ergibt aber aufgrund der strikt getrennten Struktur von Raum und Zeit in der Lex prima keinen Sinn, diesem Raum eine gemeinsame euklidische Struktur aufzuprägen. Die metrischen Strukturen von Raum und Zeit bleiben also ebenfalls getrennt. In $E_t$ haben wir die gewöhnliche reelle Metrik, und in $E_r$ die euklidische dreidimensionale Geometrie als Struktur.

Nunmehr müssen wir das in der Lex prima aufgestellte kräftefreie Bewegungsgesetz mathematisch präzisieren. Wir können dies mit Hilfe der soeben eingeführten Welt $E_t \times E_r$ leicht unabhängig von jedem Bezugssystem tun. Ein kräftefreier Massepunkt bewegt sich geradlinig in $E_r$ und gleichförmig in $E_t$ , d.h. er legt zu gleichen Zeiten gleiche Strecken zurück. Das bedeutet, daß die kräftefreie Bewegung eines Massepunktes durch eine Gerade in der Welt $E_t \times E_r$ beschrieben wird. Die Gerade wird festgelegt durch einen beliebigen Punkt und eine Richtung. Weiter benötigen wir zur Messung von Raum und Zeit noch willkürliche Skalen, die Maßeinheiten von Raum und Zeit.

Analytisch läßt sich dies durch die Wahl eines Zeitnullpunkts und einer Zeitrichtung, also eines Koordinatensystems in $E_t$ und eine kartesische Basis in $E_r$ beschreiben. Bzgl. einer solchen Weltbasis können wir dann die kräftefreie Bewegung also durch

$$\vec{v}_t(O_t,T)=(t_0+\lambda) \vec{e}_t, \; \vec{v}_r(O_r,X)=\vec{x}_0 + \lambda \vec{u}$$ (1.1.3)

beschreiben. Wir können für $\vec{v}_t$ und $\vec{v}_r$ aber auch die Koordinaten $(t,x^1,x^2,x^3)^t$ einführen^1.3. Dann verlieren wir zwar die Koordinatenunabhängigkeit, können jedoch die konkrete physikalische Bedeutung der bisher eingeführten Postulate noch genauer herausarbeiten. Sei also $\vec{v}_t(O_t,T)=t \vec{e}_t$ und $\vec{v}_r(O_r,X)=x^i \vec{e}_i$ . Dann schreibt sich die oben parametrisierte freie Bewegung als

$$t=t_0+\lambda, \; x^i = x_{0}^{i}+ \lambda u^{i}.$$ (1.1.4)

Dazu äquivalent ist die Formulierung mit Spaltenvektoren im $\R^3$ :

$$t=t_0+\lambda, \; \bvec{x}=\bvec{x}_0+\lambda \bvec{u}.$$ (1.1.5)

Wir können also den willkürlichen Weltparameter $\lambda$ zugunsten der Zeit eliminieren und erhalten die bekannte Newtonsche Gleichung für die Bewegung eines kräftefreien Körpers:

$$\bvec{x}(t)=\bvec{x}_{0} + (t-t_{0}) \bvec{u},$$ (1.1.6)

wobei sich herausstellt, daß $\vec{u}$ der Geschwindigkeitsvektor der Bewegung ist. Ein Koordinatensystem, in dem die kräftefreie Bewegung durch (1.1.6) beschrieben wird, nennen wir galileisches Bezugssystem oder Inertialsystem.

Wir können also die Lex prima dahingehend exakt formulieren, daß es ein Weltkoordinatensystem gibt, in dem sich ein kräftefreier Massepunkt gemäß (1.1.6) bewegt. Mathematisch ist diese Aussage nicht weiter kompliziert, sie wird durch die Struktur der Welt $(E_t,E_r)$ geradezu herausgefordert, weil ja die Geraden in affinen Räumen ausgezeichnete eindimensionale Untermannigfaltigkeiten darstellen. Physikalisch ist die Sachlage allerdings alles andere als trivial. Die soeben herausgearbeitete Formulierung der Lex prima bezieht sich nämlich auf physikalisch reale Systeme, und wir müssen dies präzisieren um die Tragweite der Postulate genauer zu verstehen:

Zunächst folgt aus den obigen Annahmen über die Struktur des Raumes, daß jeder in ihm liegende Punkt zum Bezugspunkt $O_r$ gemacht werden kann, und es existiert eine Orthonormalbasis $\vec{e}_i$ des euklidischen Raumes, bzgl. dessen die kräftefreie Bewegung gemäß (1.1.5) beschrieben wird. Um dies für reale Massepunkte realisieren zu können, bedeutet dass jedoch, daß wir die Grundkonstruktionen, wie sie in der elementaren Geometrie schon von Euklid an die Spitze gestellt werden, mit realen Körpern durchführen können müssen. Das bedeutet nicht weniger als daß wir exakt starre Körper besitzen müssen, die als Lineal und Zirkel dienen können. Im folgenden nehmen wir einfach an, daß dies der Fall ist, wobei allerdings im Auge behalten werden sollte, daß die moderne Physik uns lehrt, daß es solche starren Körper nicht gibt, ja daß aufgrund der Quantentheorie schon die exakte Festlegung eines Einheitsmaßstabes mit realen Körpern in Strenge nicht realisierbar ist. Wir werden auf die Gültigkeitsgrenzen der Newtonschen Mechanik allerdings erst später eingehen können.

Wir können nunmehr die Messung im Raum als durch Einheitsmaßstäbe realisiert voraussetzen. Weiter ist aber auch klar, daß damit vermöge der Lex prima auch die Zeitmessung festgelegt ist, denn wie wir anhand der Formulierung (1.1.6) gesehen haben, ist die Zeitmessung sofort mit Hilfe eines kräftefreien Körpers auf die Messung von zurückgelegten Wegstrecken zurückgeführt. Physikalisch konkret bedeutet dies jedoch, daß wir diese Wegstrecken instantan messen können müssen, d.h. wir müssen etwa vermittels einer starren Stange die Lage des Massepunktes zu einem bestimmten Zeitpunkten exakt festlegen und so mit Hilfe der euklidischen Längenmessung mit dem Einheitsmaßstab vergleichen können. Wir setzen auch dies im folgenden voraus, nicht ohne die Warnung ausgesprochen zu haben, daß dies nicht mit den Erkenntnissen der Relativitätstheorie und unserem modernen Verständnis vom Aufbau der Materie vereinbar ist. Auch hier müssen wir den Leser auf später vertrösten, bis wir in der Lage sind, die Gültigkeitsgrenzen der Newtonschen Mechanik anhand moderner physikalischer Erkenntnisse zu klären.

Kommen wir nun zur Lex secunda. Wir können die Lex prima dahingehend zusammenfassen, daß eine Änderung des Bewegungszustandes eines Massepunktes die Abweichung von der geradlinig gleichförmigen Bewegung darstellt. Die geradlinig gleichförmige Bewegung wird nach Einführung eines Galileischen Bezugssystems durch (1.1.6) beschrieben, wobei allerdings keineswegs die konkreten Bahnparameter festgelegt sind. Das ist auch konsistent mit der Forderung, daß die Beschreibung der Bewegung unabhängig vom gewählten Bezugssystem ist, denn die konkrete Wahl der $t_0$ , $\bvec{x}_{0}$ und $\bvec{u}$ sowie der Maße für $t$ und $\bvec{x}$ ist durch die Wahl der Bezugspunkte von Raum und Zeit sowie deren Basisvektoren frei bestimmbar. Eine von diesen willkürlichen Parametern unabhängige Beschreibung ist durch die Bewegungsgleichung $\d_t^2 \bvec{x}(t)=0$ gegeben, wobei $\d_t$ die Ableitung der Bahnkurve $\bvec{x}:\R \rightarrow \R^3$ und $\d_t^2$ entsprechend ihre zweite Ableitung nach der Zeit $t$ bezeichnet. Klar ist, daß für eine beliebige Bahnkurve $\bvec{u}=\d_{t} \bvec{x}$ die momentane Geschwindigkeit und $\bvec{a} = \dd_{t} \bvec{u} = \d_{t}^2 \bvec{x}$ die momentane Beschleunigung des Massepunktes sind.

Die Lex secunda definiert nun die Kraft als Ursache der Bewegungsänderung als proportional zur Beschleunigung des Massepunktes

$$\bvec{F} = m \d_t^2 \bvec{x}.$$ (1.1.7)

Dabei ist $m$ eine den Massepunkt näher charakterisierende Konstante, die als träge Masse oder kurz als Masse bezeichnet wird. Die Festlegung der Masseneinheit geschieht (übrigens sogar tatsächlich bis dato im gesetzlichen Einheitensystem) durch Bereitstellung eines Probekörpers von eben der zu definierenden Masseneinheit. Mit der Masseneinheit ist dann aber auch die Krafteinheit eindeutig aus der Beschleunigung bestimmt.

Die Lex tertia schließlich besagt, daß bei Wechselwirkung zwischen zwei Massepunkten mit beliebigen Massen $m_1$ und $m_2$ folgendes gilt. Bezeichnen wir die von der Masse $m_1$ auf die Masse $m_2$ bewirkte Kraft mit $\bvec{F}_{12}$ , so wirkt zwingend auf $m_1$ von $m_2$ die Kraft $\bvec{F}_{21}=-\bvec{F}_{12}$ .

Damit sind die grundlegenden Gesetze der Newtonschen Mechanik ausformuliert. Es fällt allerdings auf, daß wir praktisch noch keine Bewegungsgleichung besitzen, denn es ist kein Kraftgesetz vorhanden, d.h. wir besitzen noch keine Gleichungen, die die Abhängigkeit der Kraft $\vec{F}$ von den Raum- und Zeitkoordinaten des Massepunktes ausdrückt. Es ist noch nicht einmal unbedingt notwendig, daß sich dieses Kraftgesetz überhaupt als lokales Gesetz beschreiben läßt. Es könnte sehr wohl sein, daß die Kraftwirkung zum Zeitpunkt $t$ von der Bewegung des Körpers zu allen davorliegenden Zeiten $t'<t$ abhängt, kurz gesagt also von der Vorgeschichte des Körpers. Daß wir Wirkungen aus der Zukunft ausschließen, also daß auch die Geschichte des Körpers zu zukünftigen Zeiten $t'>t$ die Kraftwirkungen in der Gegenwart bestimmt, ist ebenfalls ein zusätzliches Postulat, das in keiner Weise aus den eben formulierten drei Newtonschen Grundgesetzen zu folgt. Dieses schwache Kausalitätspostulat liegt im übrigen der gesamten Physik zugrunde.

Die fundamentalen Wechselwirkungen, auf die die Newtonsche Mechanik praktisch anwendbar ist, sind die Gravitationskraft und die elektromagnetischen Kräfte auf geladene Körper. Die quantitative Beschreibung dieser Wechselwirkungen ist im Rahmen der Newtonschen Mechanik rein empirisch festzulegen. Dies gilt auch für unsere moderne Auffassung von der Beschreibung dieser Kräfte, nämlich die relativistische Quantenfeldtheorie, die uns allerdings hier nicht zur Verfügung steht. Wir werden gleichwohl zu gegebenem Zeitpunkt eine Begründung für die Kraftgesetze angeben, die ganz im Geiste moderner Symmetrieüberlegungen steht.