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Bereits in Abschnitt 1.6 haben wir gesehen, daß
infinitesimale Drehungen durch antisymmetrische Matrizen dargestellt
werden. Wieder in kartesischen Koordinaten geschrieben gilt
 |
(2.5.6) |
Die Symmetriebedingung (2.4.10) lautet also für diesen Fall
![$\displaystyle \sum_{i=1}^{n} \frac{\partial L}{\partial x^{(i)k}} \delta {\omeg...
...^{(i)l} - \frac{\partial L}{\partial x^{(i)l}} x^{(i)k} \right]}_{{M^{l}}_k}=0.$](img913.png) |
(2.5.7) |
Dabei haben wir von der Antisymmetrie der infinitesimalen Drehmatrix
Gebrauch gemacht. Bis auf diese Antisymmetrie sind die Drehmatrizen aber
willkürlich und folglich muß der Gesamtdrehmomenttensor
verschwinden. Da dieser Tensor antisymmetrisch ist, können
wir ihn durch Dualisieren umkehrbar eindeutig auf einen axialen Vektor,
der üblicherweise als Gesamtdrehmoment bezeichnet wird,
abgebilden:
 |
(2.5.8) |
Ist das Verschwinden des Gesamtdrehmoments erfüllt, liegt also
tatsächlich Rotationssymmetrie vor, ist nach (2.4.11) der
Drehimpulstensor
![$\displaystyle {l^{l}}_k= \sum_{i=1}^N \left [\frac{\partial L}{\partial \dot{x}^{(i)k}} x^{(i)l} - \frac{\partial L}{\partial \dot{x}^{(i)l}} x_k^{(i)} \right ]$](img916.png) |
(2.5.9) |
bzw. der durch Dualisieren entstehende axiale Vektor
mit  |
(2.5.10) |
der Gesamtdrehimpuls, während der Bewegung zeitlich konstant.
Ist die Drehinvarianz nur bei Drehung um eine feste Achse gegeben, so
ist auch nur die entsprechende Komponente des Drehimpulses in Richtung
dieser Drehachse erhalten, und es empfiehlt sich die Einführung einer
Winkelvariable um diese Achse. Von diesem Sachverhalt rührt auch die
Bezeichnung ,,zyklisch`` für eine Variable her, von der
nicht explizit abhängt.
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