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In der eben behandelten Lagrangeschen Formulierung der Mechanik stand
die Parametrisierung des Konfigurationsraums durch beliebige
generalisierte Koordinaten im Vordergrund. Nun wenden wir uns einer
zweiten dazu äquivalenten Beschreibungsweise durch ein erweitertes
Hamiltonsches Prinzip zu. Wie wir beim Beweis des Noetherschen Theorems
gesehen haben, sind neben den generalisierten Koordinaten
die
dazugehörigen kanonisch konjugierten Impulse
geeignete Größen zur Beschreibung des Systems.
Liegt nämlich eine geometrische Symmetrie bei einem gegebenen
mechanischen Problem vor und wählen wir geeignete Koordinaten, die
diese Symmetrie lokal durch reine Translationen beschreiben, ist der
dazugehörige kanonisch konjugierte Impuls dem Noethertheorem zufolge
zeitlich konstant. Solche Koordinaten bezeichneten wir als zyklisch,
und die in diesen Koordinaten ausgedrückte Lagrangefunktion zeichnet
sich dadurch aus, daß sie von diesen Koordinaten nicht explizit
abhängt, sondern nur von deren Zeitableitung.
Wir führen also neben den generalisierten Koordinaten
auch die
kanonisch konjugierten Impulse
ein. Die Eingangsparameter der
Lagrangefunktion sind aber natürlicherweise die generalisierten
Koordinaten und Geschwindigkeiten
. Bilden wir nun das
Differential der Lagrangefunktion
mit  |
(2.7.1) |
sehen wir, daß die durch
 |
(2.7.2) |
definierte Funktion, die Hamiltonfunktion, den geeigneten
Ausgangspunkt für eine solche Beschreibung darstellt, denn es gilt
 |
(2.7.3) |
Das bedeutet, daß das Differential der Hamiltonfunktion gerade der
vorausgesetzten Abhängigkeit von den
und
entspricht. Den
Zusammenhang zwischen der Lagrangefunktion
und der
Hamiltonfunktion
nennt man übrigens
Legendretransformation. Sie setzt voraus, daß sich die
durch die
ausdrücken lassen, d.h. daß ein
reguläres System vorliegt. Auf die Behandlung
singulärer Systeme, bei denen dies nicht der Fall ist, kommen
wir weiter unten zurück, da diese in Gestalt der sogenannten
Eichfeldtheorien in der modernen Quantenphysik der
Elementarteilchen eine bedeutende Rolle spielen.
Für reguläre Systeme liest man durch Vergleich der beiden Ausdrücke
für die Differentialformen die Beziehungen
 |
(2.7.4) |
ab. Die Formulierung der Bewegungsgleichungen mit Hilfe der
Hamiltonfunktion folgt nun daraus direkt vermöge der Euler-Lagrangegleichungen
 |
(2.7.5) |
Das sind die Hamiltonschen kanonischen Gleichungen. Es ist
klar, daß damit allein nicht allzu viel gewonnen sein kann, denn es
handelt sich lediglich um eine Umformulierung der
Euler-Lagrangegleichungen durch Elimination der
zugunsten
der
. Die Differentialgleichungen zweiter Ordnung sind dadurch
übrigens zu Differentialgleichungen erster Ordnung geworden, was sich
weiter unten noch als nützlich erweisen wird.
Nun erinnern wir uns daran, daß die Euler-Lagrangegleichungen aus dem
Hamiltonschen Variationsprinzip hergeleitet werden konnten. Betrachten
wir also die Variation des Wirkungsfunktionals, jetzt formuliert mit
Hilfe der Hamiltonschen Funktion:
![$\displaystyle \delta I=\delta \int_{t_1}^{t_2} \d t L=\delta \int_{t_1}^{t_2} \...
... - \delta q^k \left (\dot{p_k}+\frac{\partial H}{\partial q^k} \right) \right].$](img861.png) |
(2.7.6) |
Dabei haben wir nur benutzt, daß im Hamiltonschen Prinzip per
definitionem so zu variieren ist, daß die Variationen der
an den
Rändern des betrachteten Zeitintervalls verschwinden. An die
bzw. die
haben wir keine Randbedingungen gestellt. Aus
der obigen Form der Variation des Wirkungsfunktionals erkennen wir
nun, daß die Hamiltonschen kanonischen Gleichungen (2.7.5)
folgen, wenn man neben den
auch die
als unabhängige Variablen
betrachtet und das Wirkungsfunktional
![$\displaystyle I[q,p]=\int_{t_1}^{t_2} \d t [p_k \dot{q}^k -H(q,p,t)]$](img862.png) |
(2.7.7) |
unter an den Rändern des Integrationsbereiches verschwindenden
Variationen der
extremal macht. Dies bezeichnen wir als
erweitertes Hamiltonsches Prinzip.
Die kanonischen Impulse stellen in dieser Variationsaufgabe also
unabhängige Variable dar. Daher bezeichnen wir die durch die
gebildeten kanonischen Koordinaten
parametrisierte aufgespannte
Mannigfaltigkeit als Phasenraum und betrachten die Bewegung
nicht nur als Bahnkurve im Konfigurationsraum (parametrisiert durch die
), sondern auch als Trajektorie im Phasenraum. Das
Wirkungsfunktional ist in Abhängigkeit dieser Trajektorien zu lesen.
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