Rotationsinvarianz und Drehimpulserhaltung

Bereits in Abschnitt 1.6 haben wir gesehen, daß infinitesimale Drehungen durch antisymmetrische Matrizen dargestellt werden. Wieder in kartesischen Koordinaten geschrieben gilt

$$\delta x^{(i)k}=\delta {\omega^k}_l x^{(i) l}.$$ (2.5.6)

Die Symmetriebedingung (2.4.10) lautet also für diesen Fall

$$\sum_{i=1}^{n} \frac{\partial L}{\partial x^{(i)k}} \delta {\omeg... ...^{(i)l} - \frac{\partial L}{\partial x^{(i)l}} x^{(i)k} \right]}_{{M^{l}}_k}=0.$$ (2.5.7)

Dabei haben wir von der Antisymmetrie der infinitesimalen Drehmatrix Gebrauch gemacht. Bis auf diese Antisymmetrie sind die Drehmatrizen aber willkürlich und folglich muß der Gesamtdrehmomenttensor ${M^{k}}_l$ verschwinden. Da dieser Tensor antisymmetrisch ist, können wir ihn durch Dualisieren umkehrbar eindeutig auf einen axialen Vektor, der üblicherweise als Gesamtdrehmoment bezeichnet wird, abgebilden:

$$(M^{\dagger})_m=M_m=\frac{1}{2} \epsilon_{mlk} M^{lk} \Rightarrow... ...=\sum_{i=1}^n \bvec{x}^{(i)} \times \frac{\partial L}{\partial \bvec{x}^{(i)}}.$$ (2.5.8)

Ist das Verschwinden des Gesamtdrehmoments erfüllt, liegt also tatsächlich Rotationssymmetrie vor, ist nach (2.4.11) der Drehimpulstensor

$${l^{l}}_k= \sum_{i=1}^N \left [\frac{\partial L}{\partial \dot{x}^{(i)k}} x^{(i)l} - \frac{\partial L}{\partial \dot{x}^{(i)l}} x_k^{(i)} \right ]$$ (2.5.9)

bzw. der durch Dualisieren entstehende axiale Vektor

$$\bvec{l}=\sum_{i=1}^n \bvec{x}^{(i)} \times \bvec{p}^{(i)} \bvec{p}^{(i)}=\frac{\partial L}{\partial(\d_t \bvec{x}^{(i)})},$$ (2.5.10)

der Gesamtdrehimpuls, während der Bewegung zeitlich konstant.

Ist die Drehinvarianz nur bei Drehung um eine feste Achse gegeben, so ist auch nur die entsprechende Komponente des Drehimpulses in Richtung dieser Drehachse erhalten, und es empfiehlt sich die Einführung einer Winkelvariable um diese Achse. Von diesem Sachverhalt rührt auch die Bezeichnung ,,zyklisch`` für eine Variable her, von der $L$ nicht explizit abhängt.