Hamiltonsche Mechanik

In der eben behandelten Lagrangeschen Formulierung der Mechanik stand die Parametrisierung des Konfigurationsraums durch beliebige generalisierte Koordinaten im Vordergrund. Nun wenden wir uns einer zweiten dazu äquivalenten Beschreibungsweise durch ein erweitertes Hamiltonsches Prinzip zu. Wie wir beim Beweis des Noetherschen Theorems gesehen haben, sind neben den generalisierten Koordinaten $q$ die dazugehörigen kanonisch konjugierten Impulse $\partial L/\partial{\dot{q}}$ geeignete Größen zur Beschreibung des Systems. Liegt nämlich eine geometrische Symmetrie bei einem gegebenen mechanischen Problem vor und wählen wir geeignete Koordinaten, die diese Symmetrie lokal durch reine Translationen beschreiben, ist der dazugehörige kanonisch konjugierte Impuls dem Noethertheorem zufolge zeitlich konstant. Solche Koordinaten bezeichneten wir als zyklisch, und die in diesen Koordinaten ausgedrückte Lagrangefunktion zeichnet sich dadurch aus, daß sie von diesen Koordinaten nicht explizit abhängt, sondern nur von deren Zeitableitung.

Wir führen also neben den generalisierten Koordinaten $q$ auch die kanonisch konjugierten Impulse $p$ ein. Die Eingangsparameter der Lagrangefunktion sind aber natürlicherweise die generalisierten Koordinaten und Geschwindigkeiten $\dot{q}$ . Bilden wir nun das Differential der Lagrangefunktion

$$\d L=\frac{\partial L}{\partial q^k} \d q^k + p_k \d \dot{q}^k + \d t \partial_t L p_k=\frac{\partial L}{\partial \dot{q}^k},$$ (2.7.1)

sehen wir, daß die durch

$$H(q,p,t)=p_k \dot{q}^k(q,p)-L(q,\dot{q}(q,p),t)$$ (2.7.2)

definierte Funktion, die Hamiltonfunktion, den geeigneten Ausgangspunkt für eine solche Beschreibung darstellt, denn es gilt

$$\d H=\frac{\partial H}{\partial q^k} \d q^k+ \frac{\partial H}{\p... ...=-\frac{\partial L}{\partial q^k} \d q^k -\d t \partial_t L + \dot{q}^k \d p_k.$$ (2.7.3)

Das bedeutet, daß das Differential der Hamiltonfunktion gerade der vorausgesetzten Abhängigkeit von den $q$ und $p$ entspricht. Den Zusammenhang zwischen der Lagrangefunktion $L$ und der Hamiltonfunktion $H$ nennt man übrigens Legendretransformation. Sie setzt voraus, daß sich die $\dot{q}$ durch die $p$ ausdrücken lassen, d.h. daß ein reguläres System vorliegt. Auf die Behandlung singulärer Systeme, bei denen dies nicht der Fall ist, kommen wir weiter unten zurück, da diese in Gestalt der sogenannten Eichfeldtheorien in der modernen Quantenphysik der Elementarteilchen eine bedeutende Rolle spielen.

Für reguläre Systeme liest man durch Vergleich der beiden Ausdrücke für die Differentialformen die Beziehungen

$$\frac{\partial H}{\partial q^k}=-\frac{\partial L}{\partial q^k}, \; \frac{\partial H}{\partial p_k} = \dot{q}^k, \; \partial_t H=-\partial_t L$$ (2.7.4)

ab. Die Formulierung der Bewegungsgleichungen mit Hilfe der Hamiltonfunktion folgt nun daraus direkt vermöge der Euler-Lagrangegleichungen

$$\dot{p}_k=-\frac{\partial H}{\partial q^k}, \; \dot{q}^k=\frac{\partial H}{\partial p_k}.$$ (2.7.5)

Das sind die Hamiltonschen kanonischen Gleichungen. Es ist klar, daß damit allein nicht allzu viel gewonnen sein kann, denn es handelt sich lediglich um eine Umformulierung der Euler-Lagrangegleichungen durch Elimination der $\dot{q}^k$ zugunsten der $p_k$ . Die Differentialgleichungen zweiter Ordnung sind dadurch übrigens zu Differentialgleichungen erster Ordnung geworden, was sich weiter unten noch als nützlich erweisen wird.

Nun erinnern wir uns daran, daß die Euler-Lagrangegleichungen aus dem Hamiltonschen Variationsprinzip hergeleitet werden konnten. Betrachten wir also die Variation des Wirkungsfunktionals, jetzt formuliert mit Hilfe der Hamiltonschen Funktion:

$$\delta I=\delta \int_{t_1}^{t_2} \d t L=\delta \int_{t_1}^{t_2} \... ... - \delta q^k \left (\dot{p_k}+\frac{\partial H}{\partial q^k} \right) \right].$$ (2.7.6)

Dabei haben wir nur benutzt, daß im Hamiltonschen Prinzip per definitionem so zu variieren ist, daß die Variationen der $q$ an den Rändern des betrachteten Zeitintervalls verschwinden. An die $\dot{q}$ bzw. die $p$ haben wir keine Randbedingungen gestellt. Aus der obigen Form der Variation des Wirkungsfunktionals erkennen wir nun, daß die Hamiltonschen kanonischen Gleichungen (2.7.5) folgen, wenn man neben den $q$ auch die $p$ als unabhängige Variablen betrachtet und das Wirkungsfunktional

$$I[q,p]=\int_{t_1}^{t_2} \d t [p_k \dot{q}^k -H(q,p,t)]$$ (2.7.7)

unter an den Rändern des Integrationsbereiches verschwindenden Variationen der $q$ extremal macht. Dies bezeichnen wir als erweitertes Hamiltonsches Prinzip.

Die kanonischen Impulse stellen in dieser Variationsaufgabe also unabhängige Variable dar. Daher bezeichnen wir die durch die $2f$ gebildeten kanonischen Koordinaten $(q,p)$ parametrisierte aufgespannte Mannigfaltigkeit als Phasenraum und betrachten die Bewegung nicht nur als Bahnkurve im Konfigurationsraum (parametrisiert durch die $q$ ), sondern auch als Trajektorie im Phasenraum. Das Wirkungsfunktional ist in Abhängigkeit dieser Trajektorien zu lesen.