Kanonische Transformationen

Die Bedeutung dieser Beobachtung besteht nun darin, daß aufgrund des erweiterten Hamiltonschen Prinzips die Bewegungsgleichung nicht nur forminvariant unter allgemeinem Wechsel der Koordinaten $q$ des Konfigurationsraums (in Gestalt der Euler-Lagrangegleichungen) sind, sondern auch unter allgemeineren die generalisierten Impulse einschließenden Transformationen, die die Variation des im Phasenraum formulierten Wirkungsfunktionals (2.7.7) invariant lassen. Solche Transformationen bezeichnen wir mit Hamilton als kanonische Transformationen.

Um die Bedingungen an eine beliebige Transformation

$$q^k=q^k(Q^k,P_k,t), \; p_k=p_k(Q^k,P_k,t)$$ (2.8.1)

dafür zu finden, daß sie die Hamiltonschen kanonischen Gleichungen forminvariant lassen, müssen wir nur verlangen, daß die Variation des Wirkungsfunktionals (2.7.7) in beiden kanonischen Koordinatensystemen gleich ist. Das bedeutet, daß

$$\Delta I=\int_{t_1}^{t_2} \d t [p_k \dot{q}^k-H-P_k \dot{Q}_k+H'],$$ (2.8.2)

gelesen als Wegintegral im sogenannten erweiterten von $(t,q,p)$ parametrisierten Phasenraum, ein totales Differential sein muß:

$$\d t(H'-H)+\d q^k p_k - \d Q^k P_k= \d f.$$ (2.8.3)

Dabei ist $f$ gemäß der auf der linken Seite auftretenden Differentialformen als eine Funktion von $q$ , $Q$ und $t$ aufzufassen. Der Vergleich zwischen der linken und rechten Seite zeigt weiterhin, daß

$$H'-H=\partial_t f, \quad p_k=\frac{\partial f}{\partial q^k}, \quad P_k=-\frac{\partial f}{\partial Q^k}$$ (2.8.4)

gilt. Die Transformation (2.8.1) ist also genau dann eine kanonische Transformation, wenn es eine Funktion $f$ der alten und der neuen Koordinaten gibt, so daß die Beziehungen (2.8.4) gelten. Nach dem Lemma von Poincaré ist das wenigstens lokal nur dann der Fall, wenn

$$\frac{\partial p_k}{\partial Q^l}=-\frac{\partial P_l}{\partial q^k}$$ (2.8.5)

ist.

Es ist klar, daß es viel einfacher ist, wenn wir die Funktion $f$ willkürlich vorgeben und die ,,alten Koordinaten`` $(q,p)$ mit Hilfe der Bedingung (2.8.4) durch die ,,neuen Koordinaten`` $(Q,P)$ ausdrücken. Wir nennen daher $f$ auch Erzeugende der kanonischen Transformation. Ist $f$ explizit zeitabhängig, dürfen wir dabei nicht vergessen, auch die Hamiltonfunktion gemäß (2.8.4) zu transformieren.

Es ist manchmal allerdings bequemer, die erzeugende Funktion mit Hilfe anderer Paare alter und neuer Koordinaten auszudrücken. Hier bewährt sich das schon bei der Herleitung der Hamiltonschen kanonischen Gleichungen angewandte Prinzip der Legendretransformation. Als Beispiel leiten wir den für das folgende wichtigsten Fall her, daß wir die Erzeugende als Funktion $g$ der alten Konfigurationsraumkoordinaten $q$ und der neuen kanonischen Impulse $P$ vorgeben. Dann schreiben wir

$$f(q,Q,t)=g_1(q,P,t)-Q^k P_k \Rightarrow \d f=\d q^k \frac{\partia... ...k} - \d Q^k P_k +\left ( \frac{\partial g_1}{\partial P_k} -Q^k \right) \d P_k.$$ (2.8.6)

Das bedeutet, daß

$$Q^k=\frac{\partial g_1}{\partial P_k}$$ (2.8.7)

sein muß, damit $f$ die geforderte Abhängigkeit von $q$ und $Q$ hat. Setzten wir (2.8.6) in (2.8.4) ein, finden wir, daß die kanonische Transformation durch $g$ gemäß

$$H'=H+\partial_t g_1, \quad p_k=\frac{\partial g_1}{\partial q^k}, \quad Q^k=\frac{\partial g_1}{\partial P_k}$$ (2.8.8)

erzeugt wird. Aus der Vertauschbarkeit der zweiten Ableitungen von $g_1$ nach den $q$ und $P$ folgt daraus die Beziehung

$$\frac{\partial p_k}{\partial P_l}=\frac{\partial Q^l}{\partial q^k}.$$ (2.8.9)

Als nächstes betrachten wir die Legendretransformation

$$f(q,Q,t)=g_2(p,Q,t)+q^k p_k \Rightarrow \dd f=\dd p_k \left... ...rtial p_k}+q^k \right) + \dd Q^k \frac{\partial g_2}{\partial Q^k}+\dd q^k p_k.$$ (2.8.10)

Daraus folgt wieder wie im bei (2.8.6)

$$H'=H+\partial_t g_2, \quad q^k=-\frac{\partial g_2}{\partial p_k}, \quad P_k=-\frac{\partial g_2}{\partial Q^k}.$$ (2.8.11)

Die Vertauschbarekeit der zweiten Ableitung von $g_2$ nach $p$ und $Q$ liefert damit die Bedingung

$$\frac{\partial q^k}{\partial Q^l}=\frac{\partial P_l}{\partial p_k}.$$ (2.8.12)

Schließlich kombinieren wir beide Legendretransformationen (2.8.6) und (2.8.10) indem wir von $g_2$ ausgehen:

$$g_2(p,Q,t)=g_3(p,P,t)-Q^k P_k \Rightarrow \dd g_2=\dd p_k \... ...\dd P_k \left ( \frac{\partial g_3}{\partial P_k} - Q^k \right ) - \dd Q^k P_k.$$ (2.8.13)

Mit (2.8.11) folgt daraus

$$H'=H+\partial_t g_3, \quad q^k=-\frac{\partial g_3}{\partial p_k}, \quad Q^k=\frac{\partial g_3}{\partial P_k}.$$ (2.8.14)

Die Vertauschbarkeit der zweiten Ableigungen von $g_3$ liefert schließlich die Bedingung

$$\frac{\partial q^k}{\partial P_l}=-\frac{\partial Q^l}{\partial p_k}.$$ (2.8.15)

Aus den Bedingungen (2.8.5, 2.8.9, 2.8.12, 2.8.15) können wir nun die Unabhängigkeit der Poissonklammer von der Wahl der kanonisch konjugierten Phasenraumvariablen nachweisen, also die Kovarianz der Poissonklammer bzgl. kanonischer Transformationen. Dazu schreiben wir für zwei beliebige Phasenraumfunktionen $A$ und $B$

$$\begin{split}\pb{A}{B}^{(Q,P)} &= \frac{\partial A}{\partial ... ...} \frac{\partial p_m}{\partial Q_k} \right )-(A,B), \end{split}$$ (2.8.16)

wobei $(A,B)$ für den Ausdruck steht, der durch den voranstehenden Term durch Vertauschen von $A$ mit $B$ hervorgeht. Ausmultiplizieren der Klammern und Berücksichtigung der Antisymmetrisierung bzgl. Vertauschen von $A$ und $B$ ergibt unter Zuhilfenahme der Begingungen (2.8.5, 2.8.9, 2.8.12, 2.8.15) in der Tat die Poissonklammer geschrieben in den ,,alten Variablen`` $q$ und $p$ . Als Beispiel für diese Rechnung betrachten wir den antisymmetrisierten ersten Term

$$\frac{\partial A}{\partial q^j} \frac{\partial B}{\partial q^m} \... ...k} \frac{\partial P_k}{\partial p_m}}_{\partial q^j/\partial p_m} \right ) = 0.$$ (2.8.17)

Zusammenfassen der übrigen Terme ergibt dann in der Tat

$$\pb{A}{B}^{(Q,P)}=\pb{A}{B}^{(q,p)}:=\pb{A}{B}.$$ (2.8.18)