Die Hamilton-Jacobische Differentialgleichung

Nachdem wir nun die Eigenschaften der kanonischen Transformationen kennen, die die Hamiltonschen kanonischen Gleichungen kovariant lassen, liegt die Frage nahe, ob es uns nicht gelingen kann, solche Phasenraumkoordinaten $(Q,P)$ zu finden, so daß die Bewegung durch $(Q,P)=$const , beschrieben werden. Wegen der Invarianz der Hamiltonschen kanonischen Gleichungen bedeutet das

$$\frac{\partial H'}{\partial Q}=\frac{\partial H'}{\partial P}=0.$$ (2.9.1)

Das bedeutet, daß $H'(Q,P,t)=F(t)$ sein muß. Ist nun aber $g$ Erzeugende der gesuchten kanonischen Transformation der Phasenraumkoordinaten $(q,p)$ zu den neuen Phasenraumkoordinaten $(Q,P)$ , so ist $\tilde{g}(q,P,t)=g(q,P,t)+G(t)$ erzeugende Funktion derselben Transformation, nur der Wert von $H'$ ändert sich zu $\tilde{H}'=H'+\d G/\d t$ . Wählen wir also $G=-\int \d t F(t)$ , können wir auch o.B.d.A. fordern, daß

$$H'(Q',P',t)=0$$ (2.9.2)

sein soll. Sei nun $g(q,P,t)$ die Erzeugende der gesuchten Transformation, so folgt daraus

$$H'(Q',P',t)=H(q,p,t)+\partial_t g(q,P',t)=0.$$ (2.9.3)

Von (2.8.8) wissen wir aber, daß $p=\partial_q g$ ist, so daß wir schließlich die Hamilton-Jacobische partielle Differentialgleichung (im folgenden der Kürze halber einfach HJpDGL genannt)

$$H\left(q,\frac{\partial g}{\partial p},t \right)+\partial_t g=0$$ (2.9.4)

finden.

Es ist klar, daß diese partielle Differentialgleichung von $f+1$ unabhängigen Veränderlichen, nämlich $q$ und $t$ , $f+1$ Integrationskonstanten enthält. Von diesen ist aber eine irrelevant, weil sie lediglich einen konstanten Term für $H$ bedeutet, der physikalisch offensichtlich insignifikant ist. Es bleiben also $f$ nichttriviale Integrationskonstanten übrig, die wir mit den neuen kanonischen Impulsen $P$ identifizieren. Hat man aber eine Lösung der HJpDGL (2.9.4) gefunden, so folgt die Bahn aus den $f$ Gleichungen $Q=\partial g/\partial P=$const .

Im Falle konservativer Systeme, d.h. für solche, deren Hamiltonfunktion (und damit auch ihre Lagrangefunktion) nicht explizit von der Zeit abhängt, also für die $\partial_t H=-\partial_t L=0$ gilt, vereinfacht sich die HJpDGL durch Einführung der nach dem Noethertheorem erhaltenen Energie als kanonischem Impuls, denn dann gilt

$$\begin{split}H=E=-\partial_t g=\text{const} \Rightarrow g=-E ... ... S}{\partial P_k} \text{ f\uml {u}r } k=2,\ldots,f. \end{split}$$ (2.9.5)