Die symplektische Struktur des Phasenraums

Im folgenden verwenden wir das erweiterte Hamiltonsche Prinzip um einen Einblick in die lokale geometrische Struktur des Phasenraums zu gewinnen. Dazu gehen wir von der oben hergeleiteten Kovarianzbedingung (2.8.3) aus, die wir jedoch in der Abhängigkeit von den neuen Koordinaten $(Q,P)$ und in seiner Gestalt in Form von Zeitableitungen anschreiben:

$$p_k \dot{q}^k -H(q^k,p_k,t)=P_k \dot{Q}_k - H'(Q^k,P_k,t)+\frac{\d}{\d t} F(Q,P,t).$$ (2.10.1)

Integration dieser Gleichung bzgl. $t$ von $t_1$ bis $t_2$ und Substitution der $(q,p)$ zugunsten der $(Q,P)$ auf der linken Seite ergibt schließlich

$$\int_{t_1}^{t_2} \d t \left [ \dot{Q}_j \left ( P_j -p_k \frac{\p... ... \frac{\partial q^k}{\partial t} \right) \right] = -F(Q,P,t)\vert _{t_1}^{t_2}.$$ (2.10.2)

Jetzt fassen wir das linksstehende Integral als Kurvenintegral im sogenannten erweiterten Phasenraum, der durch die $2f+1$ Parameter $(Q,P,t)$ parametrisiert wird, auf. Da die rechte Seite nur von Anfangs- und Endpunkt der Kurve abhängt, muß nach dem Poincaréschen Lemma der Integrand ein totales Differential sein. Dabei ist $-F$ das Potential des über die Kurve integrierten Feldes im erweiterten Phasenraum:

$$\frac{\partial (-F)}{\partial Q^j}=P_j-p_k \frac{\partial q^k}{\p... ..., \; \frac{\partial (-F)}{\partial P_l}=-p_k \frac{\partial q^k}{\partial P_l}.$$ (2.10.3)

Das ist aber nur der Fall, wenn die Integrabilitätsbedingungen, die aus der Vertauschbarkeit der partiellen Ableitungen von $F$ nach den $Q$ und $P$ folgen, erfüllt sind:

$$\lb{Q^j}{P_l}:=\frac{\partial q^k}{\partial Q^j} \frac{\partial p... ...ac{\partial p_k}{\partial Q^j}=\delta_{jl}, \; \lb{Q^j}{Q^l} = \lb{P_j}{P_l}=0.$$ (2.10.4)

Das für beliebige Phasenraumtransformationen $q(Q,P,t)$ , $p(Q,P,t)$ definierte Objekt $\lb{X}{Y}$ , wobei für $X$ und $Y$ beliebige neue Phasenraumkoordinaten $(Q,P)$ eingesetzt werden können, heißt Lagrangeklammer. Eine kanonische Transformation liegt also genau dann vor, wenn die Lagrangeklammern invariant unter dieser Transformation sind. Es ist nämlich klar, daß für die identische Transformation $Q=q, \; P=p$ die Lagrangeklammerbeziehungen erfüllt sind.

Die Lagrangeklammer stellt nun aber keine besonders bequem zu berechnende Konstruktion dar, wenn es darum geht, für gegebene neue Koordinaten $(Q,P)$ zu entscheiden, ob sie eine kanonische Transformation der $(q,p)$ darstellen. Wir wollen die Lagrangeklammerbedingungen nun in Ableitungen der neuen Phasenraumkoordinaten nach den alten ausdrücken. Dazu betrachten wir die Jacobimatrix der inversen kanonischen Transformation

$$J=\begin{pmatrix}\partial Q^i/\partial q^j & \partial Q^i/\partial p_j \ \partial P_i/\partial q^j & \partial P_o/\partial p_j \end{pmatrix}.$$ (2.10.5)

Dabei sollen die partiellen Ableitungen jeweils als $f \times f$ -Blockmatrix verstanden werden. Damit ist $J$ insgesamt eine $(2f) \times (2f)$ -Matrix. Die Lagrangeklammerbedingungen lassen sich nun durch die inverse Matrix

$$J^{-1}=\begin{pmatrix}\partial q^j /\partial Q^i & \partial p_j/\... ...ial Q^i \ \partial q^j /\partial P_i & \partial p_j/\partial P_i \end{pmatrix}$$ (2.10.6)

ausdrücken. Dazu führen wir nun die sogenannte symplektische Fundamentalmatrix

$$S=\begin{pmatrix}0 & \delta_{ij} \ -\delta_{ij} & 0 \end{pmatrix}$$ (2.10.7)

ein. Offenbar gilt $S^{-1}=-S=S^t$ . Man bezeichnet einen $2f$ -dimensionalen Vektorraum mit einer antisymmetrischen Bilinearform als symplektischen Vektorraum. Analog dazu, wie im euklidischen Raum die Einheitsmatrix das kanonische Skalarprodukt darstellt, gilt dies für die antisymmetrische Bilinearform eines symplektischen Vektorraums mit der symplektischen Fundamentalmatrix $S$ .

Das Analogon zu den orthogonalen Transformationen im euklidischen Raum entsprechen bilden im symplektischen Raum die symplektischen Abbildungen, die entsprechend als diejenigen Automorphismen im $\R^{2f}$ definiert sind, die das durch $S$ definierte symplektische Produkt $(x,y)_{\text{s}}=x^{t} S y$ zweier beliebiger Vektoren $x$ und $y$ invariant lassen. Ist $T$ die darstellende Matrix einer symplektischen Abbildung, dann muß gelten $T^t S T=S$ .

Man kann nun die Lagrangeklammerbedingungen (2.10.4) kurz wie folgt schreiben:

$$(J^{-1})^t S^t J^{-1}=S^t \Rightarrow J S J^t=S.$$ (2.10.8)

Das bedeutet aber, daß $J$ in jedem Punkt des Phasenraums eine symplektische Transformation ist. Das bedeutet kurz, daß eine Transformation $(q,p) \leftrightarrow (Q,P)$ genau dann kanonisch ist, wenn sie lokal symplektisch ist. Man bezeichnet solche lokalen symplektischen Transformationen einer Mannigfaltigkeit auch kurz als Symplektomorphismen.

Die in (2.10.8) letztgenannte Form der Lagrangeklammerbedingungen lassen sich in Komponenten zerlegt kurz wie folgt schreiben

$$\pb{Q^j}{P_l}:=\frac{\partial Q^j}{\partial q^k} \frac{\partial P... ...frac{\partial P_l}{\partial q^k}=\delta_{jl}, \; \pb{Q^j}{Q^l}=\pb{P_j}{P_l}=0.$$ (2.10.9)

Damit ist aber eine manifest kovariante Charakterisierung der lokal symplektischen Struktur des Phasenraums durch die eben eingeführten Poissonklammern

$$\pb{A}{B}=\frac{\partial A}{\partial q^k} \frac{\partial B}{\partial p_k} - \frac{\partial A}{\partial p_k} \frac{\partial B}{\partial q^k}$$ (2.10.10)

gegeben, wobei $A$ und $B$ beliebige im Phasenraum definierte Funktionen sind.

Auch die Bewegungsgleichungen lassen sich leicht mit Hilfe von Poissonklammern formulieren. Die totale Zeitableitung einer im Phasenraum definierten Funktion entlang der durch die Bewegung des Systems gegebenen Trajektorie, ist nämlich offenbar durch

$$\frac{\d A}{\d t}=\frac{\partial A}{\partial q^k} \dot{q}^k + \fr... ...{p}_k + \frac{\partial A}{\partial t}=\pb{A}{H} + \frac{\partial A}{\partial t}$$ (2.10.11)

gegeben. Dabei haben wir die Hamiltonschen kanonischen Gleichungen (2.7.5) benutzt und einer eventuellen expliziten (d.h. nicht durch die Trajektorie $[q(t),p(t)]$ eingeprägten) Zeitabhängigkeit, von $A$ Rechnung getragen.