Übungen zur Poissonklammer

(1) Man zeige, daß die Poissonklammern auf dem linearen Funktionenraum $C^{\infty}(\Omega,\K)$ , d.h. auf dem Raum der beliebig oft differenzierbaren Funktionen, die den Phasenraum in die reellen Zahlen oder komplexen (wir haben wieder allgemein $K$ geschrieben) abbilden, ein Lieprodukt bilden. Neben der Tatsache, daß die Poissonklammern in beiden Argumenten linear sind bedeutet das, daß für drei beliebig oft stetig differenzierbare Funktionen $A$ , $B$ und $\C$ die folgenden Beziehungen gelten:

$$\begin{split}& \pb{A}{B}=-\pb{B}{A}, \ & \pb{A}{\pb{B}{C}}+\pb{B}{\pb{C}{A}} + \pb{C}{\pb{A}{B}}=0. \end{split}$$ (2.10.12)

Die zweite Zeile heißt Jacobiidentität. Die so definierte Algebra der Poissonklammern macht also den Funktionenraum zur Liealgebra.

(2) Man zeige, daß die Poissonklammern zusätzlich zur Lieproduktstruktur auch die Derivationseigenschaft

$$\pb{AB}{C}=A \pb{B}{C}+\pb{A}{C} B,$$ (2.10.13)

aufweisen, wobei das Produkt zweier Funktionen punktweise aufgefaßt wird.