Das Noethertheorem in Hamiltonscher Formulierung

Wir betrachten jetzt eine Erzeugende $F(q^k,P_k,t)$ , die eine nur infinitesimal von der Identität verschiedene kanonische Transformation erzeugt:

$$F(q^k,P_k,t)=q^k P_k + G(q^k,P_k,t) \delta \alpha.$$ (2.11.1)

Dabei soll $\delta \alpha$ ein von den Phasenraumkoordinaten und der Zeit unabhängiger ,,infinitesimaler`` Parameter sein, der die Transformation parametrisiert (z.B. bei Drehungen ein infinitesimaler Drehwinkel). Nun läßt sich $G$ in eine Taylorreihe um die ursprünglichen Koordinaten entwickeln:

$$G(q,P,t)=G(q,p,t)+\frac{\partial G(q,p,t)}{\partial p_k} \delta p_k + O(\delta \alpha^2).$$ (2.11.2)

Gemäß (2.8.8) gilt

$$\begin{split}p_k=P_k+\frac{\partial G}{\partial q^k} \delta \... ...)}{\partial p_k} \delta \alpha +O(\delta \alpha^2). \end{split}$$ (2.11.3)

Es gilt also bis auf Größen der Ordnung $\delta \alpha^2$

$$\delta q^k=Q^k-q^k=\frac{\partial G}{\partial p_k} \delta \alpha, \; \delta p_k = P_k-p_k = -\frac{\partial G}{\partial q^k} \delta \alpha.$$ (2.11.4)

Für eine beliebige Observable ergibt nun eine allgemeine kanonische Transformation unter Einbeziehung einer Umparametrisierung der Zeit gemäß (2.11.4)

$$\delta O(q,p,t)= \pb{O}{G} \delta \alpha + \frac{\partial O}{\partial t} \delta t.$$ (2.11.5)

Dies auf die Hamiltonfunktion angewandt ergibt

$$\delta H=\pb{H}{G} \delta \alpha+ \frac{\partial H}{\partial t} \... ...\partial G}{\partial t} \delta \alpha + \frac{\partial H}{\partial t} \delta t,$$ (2.11.6)

wobei wir wiederum (2.8.8) angewendet haben.

Eine kanonische Transformation heißt nun Symmetrietransformation, wenn sie $H$ ungeändert läßt, also wenn $\delta H=0$ ist. Das bedeutet dann aber aufgrund der letzten Gleichung

$$\pb{G}{H}+\frac{\partial G}{\partial t}=\frac{\d G}{\d t} = 0.$$ (2.11.7)

Dabei wurde die Zeitentwicklung der Bewegung, die durch die Lösung der Hamiltonschen Gleichungen (also die Bewegungsgleichungen des Systems) gegeben sind, eingesetzt und (2.10.11) angewandt. Dies liefert wieder das Noethersche Theorem, nunmehr in der folgenden Gestalt:

Ist die Hamiltonfunktion unter einer durch eine Einparameterliegruppe^2.3 gegebenen kanonischen
Transformation invariant, so ist die Erzeugende der dazugehörigen infinitesimalen Transformation eine Erhaltungsgröße der Bewegung. Umgekehrt ist jede Erhaltungsgröße Erzeugende einer
Einparameter-Symmetriegruppe des Systems.

Die Zeitentwicklung selbst stellt gemäß (2.10.11) eine kanonische Transformation dar, deren infinitesimale Erzeugende die Hamiltonfunktion ist. Die Integration der Bewegungsgleichungen ergibt also eine Einparametergruppe, die man als Zeitentwicklung des Systems oder kurz als den Fluß bezeichnet. Das System ist zu jedem Zeitpunkt $t$ vermöge der Hamiltonschen Gleichungen aus den Anfangsbedingungen $(q(0),p(0))$ bestimmt. Der Fluß ist dann die Abbildung

$$\Phi_t:\Omega \rightarrow \Omega, \; \Phi_t(q(0),p(0))=(q(t),p(t)).$$ (2.11.8)