Das Liouvillesche Theorem

Eine wichtige Folgerung der ,,Kanonizität`` der Bewegung, welche eine herausragende Rolle in der statistischen Physik spielt, ist das Liouvillesche Theorem. Da es sich also um eine typische Vielteilchenanwendung handelt, wollen wir es gleich für ein System von $N$ über eine konservative Kraft wechselwirkende Teilchen der Masse $m$ formulieren. Die Hamiltonfunktion lautet

$$H(\bvec{x}_i,\bvec{p}_i)=\sum_{j=1}^N \frac{\bvec{p}_i^{ 2}}{2m} + \sum_{j=1}^{N} \sum_{k<j} V(\vert\bvec{x}_i-\bvec{x}_j\vert).$$ (2.12.1)

Dabei bezeichnet $(\bvec{x}_i,\bvec{p}_i)$ , $i \in \{1,\ldots,N \}$ , einen vollständigen Satz kartesischer Ortsvariablen und der dazugehörigen kanonischen Impulse der $N$ Teilchen.

Die Hamiltonschen kanonischen Gleichungen lauten

$$\frac{\dd \bvec{x}_j }{\dd t}=\frac{\partial H}{\partial \bvec{p}... ..._{j<i} \frac{\partial}{\partial \bvec{x}_j} V(\vert\bvec{x}_i-\bvec{x}_j\vert).$$ (2.12.2)

Seien $(\bvec{x}_i(t),\bvec{p}_i(t))$ die exakten Lösungen dieser Gleichungen für die Anfangsbedingungen

$$(\bvec{x}(t_0),\bvec{p}(t_0))=(\bvec{x}_i^{(0)},\bvec{p}_i^{(0)}).$$ (2.12.3)

Dann besagt das Liouvillesche Theorem, daß das Volumen eines Phasenraumelements unter der durch (2.12.2) beschriebenen Hamiltonschen Bewegung des Systems ungeändert bleibt. Dabei stellen wir uns einen Satz von Anfangswerten vor, die dieses Phasenraumelement dicht ausfüllen und betrachten die Bewegung dieses Volumenelements gemäß den Bewegungsgleichungen (2.12.2). Dies definiert den Phasenraumfluß.

Zum Beweis betrachten wir die Jacobideterminante des Phasenraumvolumenelements für den Fluß $(\bvec{x}_i^{(0)},\bvec{p}_i^{(0)}) \mapsto (\bvec{x}_i,\bvec{p}_i)$ ,

$$D(t,t_0)=\det \frac{\partial(\bvec{x}_i,\bvec{p}_i)}{\partial(\bvec{x}_i^{(0)},\bvec{p}_i^{(0)})} = .$$ (2.12.4)

Als erstes zeigen wir, daß

$$[\partial_t D(t,t_0)]_{t=t_0}=0.$$ (2.12.5)

Dazu erinnern wir uns an die Determinante einer ,,infinitesimal von der Identität`` abweichenden Matrix,

$$D(t_0+\dd t,t_0)=1+\dd t \sum_{j=1}^{N} \left [\div_{\bvec{x}_j^{(0)}} \dot{\bvec{x}}_j + \div_{\bvec{p}_j^{(0)}}\dot{\bvec{p}}_j \right]_{t=t_0}.$$ (2.12.6)

Aus den Bewegungsgleichungen (2.12.2) folgt

$$D(t_0+\dd t,t_0)-1=\dd t \sum_{j=1}^N \left [ \div_{\bvec{x}_j^{(... ...div_{\bvec{p}_j^{(0)}} \frac{\partial H}{\partial \bvec{x}_j^{(0)}} \right ]=0.$$ (2.12.7)

Dies beweist (2.12.5). Offensichtlich genügt die Determinante $D$ der Zusammensetzungsregel

$$D(t,t_0)=D(t,t_1) D(t_1,t_0)$$ (2.12.8)

für alle $t_0 \leq t_1 \leq t$ . Daraus folgt

$$\partial_t D(t,t_0)=\partial_t D(t,t_1) D(t_1,t_0).$$ (2.12.9)

Lassen wir nun $t_1 \rightarrow t$ streben, finden wir wegen (2.12.5), daß in der Tat

$$\partial_t D(t,t_0)=0.$$ (2.12.10)

Dies bedeutet, daß das Phasenraumvolumenelement ungeändert bleibt. Dies ist das Liouvillesche Theorem. Auf die Anwendung dieses Satzes in der klassischen Statistischen Mechanik werden wir weiter unten noch ausführlich zurückkommen.

Wir bemerken noch, daß das Liouvillesche Theorem auch für den Fall gilt, daß die Teilchen zusätzlich noch äußeren explizit zeitabhängigen Kräften unterliegen oder impulsabhängige Wechselwirkungen (z.B. magnetische Wechselwirkungen der Teilchen) untereinander vorliegen. Die einzige wesentliche Annahme, die in den obigen Beweis eingeflossen ist, ist nämlich die Hamiltonsche Struktur der Bewegungsgleichungen.