Liegruppen und Liealgebren

Wir können nun diese physikalischen Betrachtungen mathematisch formalisieren. Dazu führen wir zu einem beliebiges Phasenraumfeld $G \in C^{\infty}(\Omega,\K)$ die Lieableitung ein. Die Lieableitung ist ein linearer auf $C^{\infty}(\Omega,\K)$ definierter Differentialoperator, der durch die Poissonklammer wie folgt gegeben ist:

$$\lder{G}{O}=\pb{O}{G}.$$ (2.13.1)

Wir können nun die ,,infinitesimale Transformation`` (2.11.5) mathematisch korrekt wie folgt definieren. Sei $G$ die Erzeugende der Transformation und definieren wir für jede Observable durch

$$\frac{\d O_{\alpha}(q,p)}{\d \alpha}=\lder{G}{O(q,p)}, \quad O_{\alpha=0}(q,p)=O(q,p)$$ (2.13.2)

eine Transformation $O_{\alpha=0} \rightarrow O_{\alpha}$ , dann haben wir in der Umgebung von $(q,p)$ bis auf Größen zweiter Ordnung in $\delta \alpha$ wieder die infinitesimale Transformation (2.11.5) erzeugt.

Daß (2.13.2) darüber hinaus auch eine Schar endlicher kanonischer Transformationen, wobei $\alpha \in \R$ der Scharparameter ist, definiert, erkennen wir wie folgt. Formal können wir nämlich (2.13.2) mit Hilfe der Operatorexponentialfunktion integrieren:

$$\begin{split}O_{\alpha}(q,p) &= O(q^{\alpha},p_{\alpha})=\exp... ... \sum_{k=0}^{\infty} \frac{\alpha^k}{k!} \{O,G \}_n \end{split}$$ (2.13.3)

Wir gehen auf die Diskussion der Konvergenz dieser Reihe nicht näher ein. Wir werden unten an einigen Beispielen diese Konvergenz explizit nachweisen. Wenn sie aber konvergiert, löst sie auch die Differentialgleichung (2.13.2):

$$\begin{split}\frac{\d}{\d \alpha} \exp(\alpha \lder{G}{\cdot}... ...ha \lder{G}{\cdot})O}{G}= \ &= \pb{O_{\alpha}}{G}. \end{split}$$ (2.13.4)

Damit ist gezeigt, daß die Einparameterliegruppen durch ihre ,,infinitesimalen Erzeugenden`` eindeutig definiert sind.

Das ist nun mathematisch insofern interessant, als die infinitesimalen Generatoren zusammen mit den Poissonklammern eine Liealgebra bilden, wie wir oben bereits in einer Übungsaufgabe gezeigt haben, d.h. jeder Liegruppe ist eindeutig eine Liealgebra zugeordnet, und wenigstens lokal für die Einparameteruntergruppen der Liegruppe kann man durch Integration der Differentialgleichung (2.13.2) die Liegruppe aus ihrer Liealgebra rekonstruieren.

Die Einparametergruppen sind homomorph zur additiven Gruppe der reellen Zahlen. Um dies zu sehen, sei $G$ der Generator der Einparametergruppe. Dann definieren wir das Gruppenelement als den in (2.13.3) definierten Operator

$$g_{\alpha}=\exp(\alpha \mathcal{L}_G), \; \alpha \in \R.$$ (2.13.5)

Wir wollen nun zeigen, daß für $\alpha, \beta \in \R$ gilt $g_{\alpha} g_{\beta}=g_{\alpha+\beta}=g_{\beta} g_{\alpha}$ . Wegen der algebraischen Produkteigenschaften der Poissonklammer gilt

$$\begin{split}g_{\alpha} g_{\beta} &= \sum_{k=0}^{\infty} \fra... ...}_{G}]^n}{n!} = \exp[(\alpha+\beta) \mathcal{L}_G]. \end{split}$$ (2.13.6)

Dies zeigt schon vollständig, daß die Abbildung $\alpha \mapsto g_{\alpha}$ einen Homomorphismus von der additiven Gruppe der reellen Zahlen in die von $G$ erzeugte Einparametergruppe darstellt.

Wir betrachten im folgenden auch kompliziertere Gruppen, die von endlich vielen Parametern abhängig sind. Wir behandeln auch hier wieder nur solche Gruppen, die als kanonische Transformationen von Phasenraumfunktionen erzeugt werden.

Seien $G_{a}$ mit $a \in \{1,2,\ldots,d \}$ linear unabhängige Phasenraumfunktionen. Ist dann der von ihnen aufgespannte Untervektorraum $U=$span$(G_{a})_{a \in \{1,\ldots,d \}}$ bzgl. der Poissonklammeralgebra abgeschlossen, so heißt $U$ eine Unteralgebra der Liealgebra der Phasenraumfunktionen.

Zur algebraischen Abgeschlossenheit ist es offenbar notwendig und hinreichend, daß es für je zwei Basisfunktionen von $U$ reelle Zahlen ${f^c}_{ab}$ gibt, so daß

$$\pb{G_a}{G_b}={f^c}_{ab} G_c=-{f^{c}}_{ba} G_c.$$ (2.13.7)

Die ${f^{c}}_{ab}$ werden als die antisymmetrischen Strukturkoeffizienten der Liealgebra bzw. der von ihnen erzeugten Liegruppe bezeichnet. Diese Liegruppe wird dabei definitionsgemäß durch die Elemente

$$g(\alpha_1,\ldots,\alpha_d)=\exp(\alpha_a \mathcal{L}_{G_a})$$ (2.13.8)

algebraisch erzeugt.

Zu beachten ist, daß i.a. diese Gruppe nicht kommutativ ist; das ist nur der Fall, wenn die $G_a$ wechselseitig konstante Poissonklammern besitzen. Allgemein gilt nämlich für eine beliebige Phasenraumfunktion $O$

$$\begin{split}(\mathcal{L}_{A} \mathcal{L}_{B} - \mathcal{L}_{... ... \ &= \pb{O}{\pb{B}{A}}=\mathcal{L}_{\pb{B}{A}} O, \end{split}$$ (2.13.9)

wobei wir von den Liealgebraeigenschaften (2.10.12) Gebrauch gemacht haben.

Dies zeigt, daß die $\mathcal{L}_{G_{a}}$ genau dann vertauschen, wenn die Poissonklammern der $G_{a}$ untereinander jeweils konstant sind. Dann und nur dann ist die erzeugte Liealgebra isomorph zur additiven Gruppe des $\R^d$ .

Im allgemeinen Fall ist übrigens die Exponentialabbildung noch nicht einmal surjektiv auf die von den Elementen (2.13.8) algebraisch erzeugte Gruppe.