Bewegung im homogenen Schwerefeld

In diesem Abschnitt wollen wir die Bewegung eines Massepunktes im homogenen Schwerefeld, d.h. für Bewegungen in Erdnähe, entlang einer beliebig vorgegebenen ebenen Kurve behandeln. Wir betrachten auch gleich das klassische Problem der Variationsrechnung, das sogenannte Brachistochronenproblem^3.1, anhand dessen bei einem Wettstreit unter den recht verfeindeten Bernoullibrüdern die Variationsrechnung entwickelt wurde.

Die Ebene sei die $(xy)$ -Ebene eines kartesischen Koordinatensystems, wo die homogen genäherte Schwerebeschleunigung in positive $y$ -Richtung weisen möge. Die Kurve, auf die wir den Massenpunkt zwingen wollen, sei durch

$$y=f(x)$$ (3.1.1)

definiert.

Die Lagrangefunktion, parametrisiert mit der unabhängigen Variablen $x$ , ist dann durch

$$L=\frac{m}{2} (\dot{x}^2+\dot{y}^2)+m g y = \frac{m}{2} \{ 1+[f'(x)]^2 \} \dot{x}^2 + m g f(x)$$ (3.1.2)

Es ist klar, daß wir die Bewegungsgleichung sogleich integrieren können, indem wir den Energiesatz benutzen. Aufgrund des Noethertheorems ist ja die Energie, also

$$E=\dot{x} \frac{\partial L}{\partial \dot{x}}-L=\frac{m}{2}\{ 1+[f'(x)]^2 \} \dot{x}^2 - m g f(x)$$ (3.1.3)

erhalten.

Durch geeignete Wahl des $y$ -Nullpunktes können wir stets erreichen, daß $E=0$ wird. Was wir im folgenden annehmen wollen, weil es die Lösung des Brachistochronenproblems erleichtert. Für diese Wahl des Nullpunktes läßt sich die Bewegungsgleichung sofort in impliziter Form lösen

$$t=\int_{x_0}^{x_1}\d x \sqrt{\frac{1+[f'(x)]^2}{2 g f(x)}},$$ (3.1.4)

wo $t$ die Zeitvariable ist. Zur Zeit $t$ =0 befinde sich der Massepunkt dabei bei $(x_0,f(x_0))$ .

Für das Brachistochronenproblem verlangen wir weiter, daß $\dot{x}(0)=0$ ist, so daß also $f(x_0)=0$ sein muß, weil wir ja $E=0$ gewählt haben. Wählen wir jetzt auch noch den $x$ -Ursprung bei $x_0$ , so startet also der Massenpunkt bei $(0,0)$ .

Wir suchen nun von allen Funktionen $f$ diejenige, für die die Fallzeit (3.1.4) minimal wird. Da $x_0=0$ und $x_1$ festliegen, haben wir ein genau analoges Variationsproblem wie beim Hamiltonschen Prinzip der Mechanik vorliegen. Insbesondere gilt auch das Noethertheorem, und wir haben im Integranden der Gl. (3.1.4)

$$l(f,f')= \sqrt{\frac{1+(f')^2}{2 g f}}$$ (3.1.5)

eine Lagrangefunktion vorliegen, die nicht explizit von der unabhängigen Veränderlichen $x$ abhängt, so daß

$$f' \frac{\partial l}{\partial f'}-l=$$ (3.1.6)

ist. Ein wenig umgeformt ergibt sich daraus, daß

$$k^2=f[1+(f')^2]=$$ (3.1.7)

ist. Diese Differentialgleichung läßt sich einfacher lösen, wenn wir die Brachistochrone in Parameterdarstellung beschreiben, so daß wir ansetzen:

$$y(\lambda)=f[x(\lambda)]=D \sin^2 \left ( \frac{\lambda}{2} \right).$$ (3.1.8)

Dies in (3.1.7) eingesetzt ergibt nach einigen Umformungen

$$x'(\lambda) = D \sin^2 \left( \frac{\lambda}{2} \right) \; \Rightarrow \; x(\lambda)=\frac{D}{2} (\lambda-\sin \lambda).$$ (3.1.9)

Dabei haben wir die Anfangsbedingung $x(0)=0$ verwendet. Insgesamt haben wir also für die Brachistochrone die Parameterdarstellung

$$\begin{split}x(\lambda) &= \frac{D}{2} (\lambda-\sin \lambda)... ...lambda}{2} \right ) = \frac{D}{2} (1-\cos \lambda). \end{split}$$ (3.1.10)