Das Zykloidenpendel

Nun wissen wir also, daß die Brachistochrone eine Zykloide ist. Jetzt interessieren wir uns auch für die Bewegung auf derselben. Das Potential ist

$$V=-m g y=\frac{D}{2}(\cos \lambda -1),$$ (3.2.1)

d.h. es handelt sich für die Anfangsbedingung

$$\lambda(0)=\lambda_0 0<\lambda_0<\pi, \dot{\lambda}(0)=\dot{\lambda}_0=0$$ (3.2.2)

um eine Pendelschwingung innerhalb des ersten Bogens der Zykloide um das Minimum bei $\lambda=\pi/2$ . Deshalb spricht man vom Zykloidenpendel.

Das Vorgehen im Rahmen des Lagrangeformalismusses ist wie üblich. Die Lagrangefunktion lautet

$$L=\sin^2 \left (\frac{\lambda}{2} \right) \left [ \frac{m}{2} D^2 \dot{\lambda}^2 + m g D \right].$$ (3.2.3)

Die Bewegungsgleichung ergibt sich aus der Euler-Lagrangegleichung

$$\frac{\d}{\d t} \frac{\partial L}{\partial \dot{\lambda}}=\frac{\partial L}{\partial \lambda}.$$ (3.2.4)

Führt man die diversen Ableitungen aus und substituiert schließlich $u=\cos \lambda$ , erhält man die Gleichung

$$\ddot{u}=-\frac{g}{2 D} u.$$ (3.2.5)

Das bedeutet, daß das Pendel eine harmonische Schwingung mit der Kreisfrequenz $\omega=\sqrt{g/(2D)}$ vollführt. Im Gegensatz zum mathematischen Fadenpendel (s. den nächsten Abschnitt) ist aber die Bewegung exakt harmonisch, d.h. die Schwingungsfrequenz ist unabhängig von der Amplitude. Die Zykloide nennt man in diesem Zusammenhang auch Tautochrone^3.2. Bereits Huygens konstruierte eine Pendeluhr, die auf dieser Eigenschaft des Zykloidenpendels beruht. Dazu benutzte er die Tatsache, daß die Evolute der Zykloide selber wieder eine Zykloide ist. Allerdings war der Fehler aufgrund der Reibung größer als die Genauigkeitssteigerung aufgrund der Isochronie der Schwingung.