Kleinwinkelnäherung

Wir betrachten zunächst den Fall, daß das Pendel kleine Schwingungen um die Ruhelage $\varphi =0$ ausführt. Daß dies tatsächlich die stabile Gleichgewichtslage darstellt, zeigt sich sogleich an dieser Rechnung. Für kleine Winkel nähern wir auf der rechten Seite in (3.3.3)

$$\sin \varphi \approx \varphi,$$ (3.3.4)

wobei wir Glieder von der Ordnung $O(\varphi^3)$ vernachlässigen. Die homogene lineare Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten läßt sich sofort integrieren

$$\varphi(t)=\varphi_0 \cos(\omega t) + \frac{\dot{\varphi}_0}{\omega} \sin(\omega t) \quad \omega = \sqrt{\frac{g}{R}}.$$ (3.3.5)

Um die im nächsten Unterabschnitt durchgeführte exakte Behandlung der Gleichung (3.3.3) vorzubereiten, wollen wir die gleiche Näherung noch unter Ausnutzung des Energiesatzes behandeln.

In der Kleinwinkelnäherung lautet der Energiesatz

$$=E=\frac{m}{2} R^2 \dot{\varphi}^2 + \frac{m g R}{2} \varphi^{2}.$$ (3.3.6)

Durch Trennung der Variablen läßt sich diese Differentialgleichung in impliziter Form sofort lösen

$$t=\int_{\varphi_0}^{\varphi} \d \varphi' \frac{1}{\sqrt{k^2-\omega^2 \varphi'{}^2}} k^2 = \frac{2 E}{m R^2}>0 ,\; \omega^2=\frac{g}{R}.$$ (3.3.7)

Das Integral ist physikalisch nur sinnvoll, wenn die Wurzel reell ist, d.h. es muß gelten
$\varphi, \varphi_0 \in [-k/\omega,k/\omega]$ . Aus Kausalitätsgründen muß weiter $t$ monoton wachsen. Wir nehmen nun an, es sei $\dot{\varphi}_0 \geq 0$ d.h. es ist zunächst von $\varphi_0$ bis nach $\varphi_{\text{max}}=k/\omega$ zu integrieren. An diesem Verzweigungspunkt der Wurzel angekommen, ist wieder zurück von $\varphi_{\text{max}}$ bis nach $-\varphi_{\text{max}}$ zu integrieren. Da aber $t$ monoton wachsen muß, ist gleichzeitig das Vorzeichen der Wurzel umzukehren. Bei $\varphi'=-\varphi_{\text{max}}$ angekommen, kehrt sich die Argumentation gerade um, so daß wir auch auf diese qualitative Weise zu der Erkenntnis gelangen, daß $\varphi(t)$ eine periodische Funktion von $t$ sein muß. Die Periodendauer ist offenbar gegeben durch

$$T=2 \int_{-\varphi_{\text{max}}}^{+\varphi_{\text{max}}} \frac{1}... ...k^2-\omega^2 \varphi'{}^2}} = \frac{4}{\omega} \arcsin(1)=\frac{2 \pi}{\omega}.$$ (3.3.8)

Wir gelangen natürlich zu demselben Ergebnis wie oben, nämlich daß die Kreisfrequenz $\omega$ ist.

Die Bewegung erhalten wir durch Umkehrung des Integrals (3.3.7) für kleine $t$

$$\varphi(t)=\frac{k}{\omega} \sin(\omega t+C),$$ (3.3.9)

wo die Integrationskonstante $\C$ so zu wählen ist, daß die Anfangsbedingungen erfüllt sind. Da diese Lösung für kleine $t$ zweimal (tatsächlich natürlich sogar beliebig oft) stetig differenzierbar und periodisch mit der Kreisfrequenz $\omega$ ist, ist dies auch die Lösung für beliebig große $t$ , und man gelangt unter Anwendung des Additionstheorems der Sinusfunktion natürlich wieder zu (3.3.5).

Es ist klar, daß für die Kleinwinkelnäherung die direkte Lösung über die Differentialgleichung viel einfacher ist als die zum Schluß gegebene Herleitung über den Energiesatz, da wir die mehrdeutige Wurzelfunktion physikalisch zu interpretieren hatten. Allerdings wird sich diese Methode im folgenden Abschnitt als durchaus hilfreich erweisen.