Periodischer Fall

Wir betrachten nun wieder die exakte Lagrangefunktion (3.3.2). Das Energieintegral ist

$$E=\frac{m}{2} R^2 \dot{\varphi}^2 - m g R \cos \varphi.$$ (3.3.10)

Wir wollen zunächst die exakte Periodendauer für den Fall, daß das Pendel eine Schwingungsbewegung ausführt, ausrechnen. Wir können dazu die spezielle Anfangsbedingung $\varphi(0)=\varphi_0<\pi$ , $\dot{\varphi}_0=0$ benutzen. Mit den gleichen Argumenten wie im Zusammenhang mit (3.3.7) gilt dann

$$T=\frac{2 \kappa}{\omega} \int_0^{\varphi_0} \frac{d \varphi}{\sqrt{1-\kappa^2 \sin^2(\varphi/2)}} \quad \kappa=\frac{1}{\sin(\varphi_0/2)}.$$ (3.3.11)

Wir substituieren noch

$$\sin \theta=\kappa \sin(\varphi/2),$$ (3.3.12)

wodurch (3.3.11) in

$$T=\frac{4}{\omega} \int_0^{\pi/2} \frac{\d \theta}{\sqrt{1-\frac{\sin^2 \theta}{\kappa^2}}}$$ (3.3.13)

übergeht.

Das Integral

$$(\mu)=\int_0^{\pi/2} \frac{\d \theta}{\sqrt{1-\mu \sin^2 \theta}} 0<\mu<1$$ (3.3.14)

heißt vollständiges elliptisches Integral erster Gattung. Damit schreibt sich (3.3.13) als

$$T=\frac{4}{\omega} [\sin^2(\varphi_0/2) ].$$ (3.3.15)

Man kann (3.3.15) in eine Potenzreihe nach $\mu \sin^2 \theta$ entwickeln und gliedweise Integrieren. Dann erhält man für kleine Amplituden $\varphi_0$ :

$$T=\frac{2 \pi}{\omega} \left (1+\frac{\varphi_0^2}{16} +O(\varphi_0^4) \right ),$$ (3.3.16)

was eine Abschätzung für den Fehler für die Periodendauer in Kleinwinkelnäherung gemäß (3.3.8) ergibt.

Für die Integration der Bewegungsgleichungen gehen wir zu (3.3.10) zurück. Mit den bereits eingeführten Abkürzungen gelangen wir zu

$$t=\frac{\kappa}{2 \omega} \int_{\varphi_0}^{\varphi} \frac{\d \va... ...ext{F} \left ( \left .\frac{\varphi_0}{2} \right \vert \kappa^2 \right) \right]$$ (3.3.17)

Dabei heißt das Integral

$$(z\vert m)=\int_0^z \frac{\d z'}{\sqrt{1-m \sin^2 z}}$$ (3.3.18)

unvollständiges elliptisches Integral erster Gattung. Die im Sinne der Diskussion im Anschluß an Gl. (3.3.7) durchgeführten Diskussion periodisch fortgesetzte Umkehrfunktion von $F$ heißt Jacobische Amplitudenfunktion:

$$y= (x\vert m) \Leftrightarrow x= (y\vert m),$$ (3.3.19)

so daß aus (3.3.17) schließlich

$$\varphi(t)=2 \left [ \left . \frac{\omega (t+t_0)}{\kappa} \right \vert \kappa^2 \right ] t_0 = \frac{\kappa}{\omega} \left ( \left . \frac{\varphi_0}{2} \right \vert \kappa^2 \right)$$ (3.3.20)

resultiert.

Die Ableitung der Amplitudenfunktion heißt delta amplitudinus:

$$\frac{\d}{\d x} (x\vert m)= (x\vert m).$$ (3.3.21)

Die Periodendauer gemäß (3.3.15) (rot) im Vergleich zur Näherung (3.3.16) (grün).

Die Lösung (3.3.20) der Bewegungsgleichung des mathematischen Pendels für $\varphi _0=0.8$ , $\dot{\varphi}_0=0$ .