Aperiodischer Fall

Wie können noch einen Spezialfall der Bewegung exakt integrieren, nämlich den Fall, daß $\varphi=\pi=$const ist. Offenbar ist nämlich $\varphi=\pi$ eine instabile Gleichgewichtslage, weil dort ein Maximum des Potentials vorliegt.

Um einen nichttrivialen Fall zu haben, wollen wir das Pendel aus der Lage $\varphi _0=0$ gerade so anstoßen, daß es für $t \rightarrow \infty$ in die Endlage $\varphi=\pi$ gelangt. Nach dem Energiesatz (3.3.10) haben wir dazu $\dot{\varphi}_0=2 \omega$ zu wählen. Der Energiesatz liefert auch die Lösung der Bewegungsgleichung, die in unserem Falle

$$\varphi(t)=2 \arctan [\tanh(\omega t)]$$ (3.3.22)

lautet.

Die Lösung der Pendelgleichung für den aperiodischen Fall.

Die Winkelgeschwindigkeit im aperiodischen Fall.