Überschwinger

Betrachten wir nun den noch verbliebenen Fall, daß $E>m g R$ wird. Wir schreiben dann den Energiesatz in der Form

$$\dot{\varphi}^2=2 \omega^2(\kappa+\cos \varphi), \quad \kappa>1.$$ (3.3.23)

Wir integrieren diese Gleichung wieder unter den Anfangsbedingungen

$$\varphi_0=0, \quad \dot{\varphi}_0=\sqrt{2(1+\kappa)} \omega.$$ (3.3.24)

In diesem Fall ist der Radikand unter der Wurzel des Integranden

$$t=\frac{1}{\sqrt{2} \omega} \int_0^{\varphi} \frac{\d \varphi'}{\sqrt{\kappa+\cos \varphi'}}$$ (3.3.25)

beständig positiv reell. Daher ist die Umkehrfunktion nicht periodisch. Die Lösung läßt sich wieder in Gestalt der Jacobischen Amplitudenfunktion angeben:

$$\varphi(t)=2 \left (\left . \sqrt{\frac{1+\kappa}{2}} \omega t \right\vert \frac{2}{1+\kappa} \right)$$ (3.3.26)

Die Ableitung kann wieder durch die Funktion delta amplitudinus dn ausgedrückt werden:

$$\dot{\varphi}=\sqrt{2(1+\kappa)} \omega \left (\left . \sqrt{\frac{1+\kappa}{2}} \omega t \right\vert \frac{2}{1+\kappa} \right).$$ (3.3.27)

Die Bewegungsverläufe werden in den Abbildungen (3.4.5) und (3.4.6) dargestellt.

Die Lösung der Pendelgleichung für den Fall des Überschwingens.

Die Winkelgeschwindigkeit für den Fall des Überschwingens.