Ungedämpfte freie Schwingung

Anschaulich erwarten wir, daß der Körper um seine Ruhelage schwingen wird. In der Tat gilt nach dem zweiten Newtonschen Gesetz

$$m \ddot{x}=-D x \; \Rightarrow \ddot{x}+\frac{D}{m} x=0.$$ (1.2.2)

Eine Differentialgleichung von diesem Typ bezeichnet man als homogene lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung, denn die unbekannte Funktion $x$ und ihre Ableitungen kommen nur linear vor, und es gibt kein von $x$ und seinen Ableitungen freier Term vor. Hier haben wir den besonders einfachen Fall einer linearen Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten vorliegen. Wie wir gleich sehen werden, läßt sich dieser Typ von Differentialgleichungen (fast) immer mit dem Standardansatz

$$x(t)=A \exp(\lambda t), \quad \lambda= .$$ (1.2.3)

lösen. Setzen wir nämlich diesen Ansatz in (1.2.2) ein, erhalten wir die Gleichung

$$A \exp(\lambda t) \left (\lambda^2+\frac{D}{m} \right )=0.$$ (1.2.4)

Da wir nichttriviale Lösungen finden möchten, nehmen wir an $A \neq 0$ . Da auch $\exp(\lambda t) \neq 0$ muß der verbleibende Faktor in den großen Klammmern verschwinden. Wegen $D/m>0$ erhalten wir $\lambda$ zwei rein imaginäre Lösungen

$$\lambda=\pm \ii \sqrt{\frac{D}{m}}=:\pm \ii \omega_0.$$ (1.2.5)

Wegen der Linearität der Differentialgleichung ergibt eine beliebige Linearkombination aus irgendwelchen zwei Lösungen stets wieder eine Lösung. Wir erhalten also eine Lösungsschar mit zwei frei wählbaren Konstanten in der Form, indem wir die Lösungen (1.2.5) für $\lambda$ in unseren Ansatz (1.2.3) einsetzen und die entsprechende allgemeine Superposition bilden.

$$x(t)=A_1 \exp(\ii \omega_0 t)+A_2 \exp(-\ii \omega_0 t).$$ (1.2.6)

Da freilich $x \in \R$ sein muß, dürfen wir nur Superpositionen zulassen, für die $A_2=A_1^*$ ist. Schreiben wir nun $A_1=(A-\ii B)/2$ mit $A,B \in \R$ folgt nach kurzer Rechnung die allgemeine Lösung der Differentialgleichung in rein reellen Funktionen zu

$$x(t)=A \cos(\omega_0 t) + B \sin(\omega_0 t).$$ (1.2.7)

Daß wir in der Tat die allgmeine Lösung vorliegen haben, folgt daraus, daß wir die Integrationskonstanten $A$ und $B$ eindeutig aus den Anfangsbedingungen

$$x(0)=x_0, \quad \dot{x}(0)=v_0$$ (1.2.8)

gewinnen können. Denn mit (1.2.7) ist offenbar

$$x_0=x(0)=A, \quad \dot{x}(0)=B \omega_0=v_0 \; \Rightarrow \; B=\frac{v_0}{\omega_0},$$ (1.2.9)

und die Lösung für das Anfangswertproblem ist endlich durch

$$x(t)=x_0 \cos(\omega_0 t)+\frac{v_0}{\omega_0} \sin(\omega_0 t).$$ (1.2.10)

Wir können diese Lösung freilich auch durch eine einzelne Sinusfunktion ausdrücken. Dazu bemerken wir, daß aufgrund der Additionstheoreme

$$\sin(\omega_0 t+\varphi_0)=\cos(\omega_0 t) \sin \varphi_0 + \sin(\omega_0 t) \cos \varphi_0$$ (1.2.11)

gilt. Wir setzen also

$$x_0=A \sin \varphi_0,\quad \frac{v_0}{\omega_0}=A \cos \varphi_0.$$ (1.2.12)

Dieses Gleichungssystem für $A$ und $\varphi_0$ läßt sich offenbar durch

$$\begin{split}& x_0^2+\left (\frac{v_0}{\omega_0} \right )^2=A... ... (\frac{v_0}{\sqrt{(\omega_0 x_0)^2+v_0^2}} \right) \end{split}$$ (1.2.13)

lösen. Dabei haben wir den Bereich für $\varphi_0 \in [-\pi,\pi]$ gewählt. Unsere Lösung (1.2.10) lautet damit

$$x(t)=A \sin(\omega_0 t+\varphi_0)$$ (1.2.14)

mit den in (1.2.13) gegebenen Werten für $A$ und $\varphi_0$ . Der Massenpunkt vollführt also eine reine Sinusschwingung mit der Amplitude $A$ , die den Maximalausschlag angibt: $x(t) \in [-A,A]$ . Die Größe $\varphi_0$ heißt die Phasenlage der Schwingung. Die Amplitude dieser harmonischen Schwingung bleibt dabei zeitlich konstant. Man spricht daher von ungedämpfter Schwingung.

Die Bewegung ist offensichtlich periodisch, wobei die Periodendauer durch

$$\omega_0 T_0=2 \pi \; \Rightarrow \; T_0=\frac{2 \pi}{\omega_0}=\frac{1}{f_0}$$ (1.2.15)

gegeben ist. Dabei heißt $f_0=\omega_0/(2 \pi)$ die Frequenz der Schwingung, denn sie gibt die Zahl der vollständig vollführten Schwingungsperioden pro Zeiteinheit an.