Die Lagrangefunktion

Entsprechend der Geometrie des Systems benutzen wir Kugelkoordinaten, mit dem Ursprung im Aufhängepunkt des Pendels, wobei die Polarachse in Richtung der Schwerebeschleunigung weisen möge:

$$\vec{x}=R \begin{pmatrix}\cos \varphi \sin \vartheta \ \sin \varphi \sin \vartheta \ \cos \vartheta \end{pmatrix}.$$ (3.4.1)

Die kinetische Energie in diesen Koordinaten ergibt sich zu

$$T=\frac{m}{2} \left( \frac{\d \vec{x}}{\d t} \right)^{2}=\frac{m ... ...2} \left [ \dot{\varphi}^{2} \sin^{2} \vartheta + \dot{\vartheta}^{2} \right ].$$ (3.4.2)

Das Potential ist durch

$$V=-m \vec{g} (\vec{x}-\vec{e}_{z} R)=-m g R(\cos \vartheta -1)$$ (3.4.3)

gegeben und somit die Lagrangefunktion

$$L=T-V=\frac{m}{2} \left( \frac{\d \vec{x}}{\d t} \right)^{2}=\fra... ...{2} \sin^{2} \vartheta + \dot{\vartheta}^{2} \right ]+m g R(\cos \vartheta -1).$$ (3.4.4)

Wir finden sofort zwei Integrale der Bewegung: Da die Lagrangefunktion nicht explizit von der Zeit abhängt, ist die Gesamtenergie erhalten. Weiter ist $\varphi$ eine zyklische Variable, so daß der dazugehörige kanonische Impuls, der in diesem Fall natürlich die Drehimpulskomponente in $z$ -Richtung ist, ebenfalls erhalten ist:

$$\begin{split}E &= T+V=\frac{m R^{2}}{2} [\dot{\varphi}^{2} \s... ...arphi} &= m R^{2} \dot{\varphi} \sin^{2} \vartheta. \end{split}$$ (3.4.5)

Wir können mit Hilfe der zweiten Gleichung $\dot{\varphi}$ im Energiesatz eliminieren und gelangen zu

$$E=\frac{m R^{2}}{2} \left ( \frac{p_{\varphi}^2}{m^2 R^{4} \sin^{2}{\vartheta}} + \dot{\vartheta}^{2} \right) - m g R (\cos \vartheta-1).$$ (3.4.6)