Kleine Schwingungen

Zunächst betrachten wir kleine Schwingungen um die Gleichgewichtslage, wobei wir als eine der vier Integrationskonstanten, die durch die Anfangsbedingungen festgelegt sind, die Erhaltungsgröße

$$c_1=\frac{p_{\varphi}}{m R^2}=\dot{\varphi} \sin^2 \vartheta$$ (3.4.7)

wählen. Dies hat den Vorteil, daß damit das Problem auf ein effektiv eindimensionales zurückgeführt zu haben. Die Bewegungsgleichung für $\vartheta$ läßt sich damit nämlich in der Gestalt

$$\ddot{\vartheta}=\frac{c_1^2 \cos \vartheta}{\sin^2 \vartheta} - \frac{g}{R} \sin \vartheta$$ (3.4.8)

schreiben, und hängt somit nicht mehr von $\varphi$ ab.

Wir wollen nun die Gleichung (3.4.8) näherungsweise lösen, indem wir kleine Abweichungen von einer Lösung der Form $\vartheta=\vartheta_0=$const$.$ betrachten. Dazu haben wir eine Fallunterscheidung durchzuführen, nämlich $c_1=0$ und $c_1 \neq 0$ .

Beginnen wir mit $c_1=0$ . Dann ist wegen (3.4.7) entweder $\theta=$const$=0$ oder $\dot{\varphi} \equiv 0$ . Betrachten wir zunächst den Fall $\theta=0=$const . Es ist dann $\varphi$ unbestimmt, was aber mit der Singularität der Kugelkoordinaten in $\vartheta=0$ zusammenhängt. Es handelt sich einfach um die Gleichgewichtslage, in der das Pendel unbeweglich nach unten hängt. Im anderen Falle ist $\dot{\varphi} \equiv 0$ und also $\varphi=\varphi_0=$const : Das Pendel schwingt in einer Ebene, und das Problem reduziert sich auf das ebene mathematische Pendel. Gemäß (3.4.8) haben wir

$$\ddot{\vartheta}=-\frac{g}{R} \sin \vartheta \asy_{\vartheta \rightarrow 0} -\frac{g}{R} \vartheta.$$ (3.4.9)

Die Lösung dieser Differentialgleichung findet man sofort als

$$\vartheta(t)=\vartheta_0 \cos(\omega t)+\frac{\dot{\vartheta}_0}{\omega} \sin(\omega t) \omega = \sqrt{\frac{g}{R}}.$$ (3.4.10)

Kommen wir nun zu dem interessanteren Fall $c_1 \neq 0$ . Dann kann die stationäre Gleichgewichtslage nicht mehr $\vartheta=0$ sein, und für die stationäre Lösung von (3.4.8) ist $\dot{\varphi} = \Omega \neq{0}$ . Die stationäre Lage ist also durch

$$\varphi_{\text{s}}(t)=\Omega_s t+\varphi_0$$ (3.4.11)

charakterisiert, d.h. das Pendel vollführt eine gleichförmige Rotation um die Richtung der Schwerkraft. Den konstanten Winkel $\vartheta_s$ findet man aus (3.4.7-3.4.8):

$$\cos \vartheta_s = \frac{g}{R \Omega^2}.$$ (3.4.12)

Jetzt betrachten wir wieder kleine Abweichungen von dieser stationären Lösung. Wobei wir natürlich

$$c_1=\dot{\varphi}_0 \sin^2 \vartheta_0$$ (3.4.13)

zu setzen haben. Den Wert von $\vartheta_s$ finden wir in diesem Falle aus (3.4.8) aus der Bedingung der Stationarität

$$c_1^2=\frac{g}{R} \sin^2 \vartheta_s \tan \vartheta_s$$ (3.4.14)

Wir substituieren im folgenden bequemer $\vartheta_s$ anstatt von $c_1$ .

Setzen wir also

$$\vartheta = \vartheta_s+\Delta \vartheta$$ (3.4.15)

und entwickeln (3.4.8) um $\vartheta_s$ , wobei wir $\Delta \vartheta$ als von der 1. Ordnung klein betrachten, erhalten wir

$$\ddot{\Delta \vartheta} \asy_{\Delta \vartheta \rightarrow 0} -\tilde{\omega}^2 \Delta \vartheta,$$ (3.4.16)

wobei

$$\tilde{\omega}^2 = \frac{g}{R \cos \vartheta_s}(1+2\cos^2 \vartheta_s)$$ (3.4.17)

ist.

Die Lösung für (3.4.16) ist

$$\Delta \vartheta(t)=\Delta \vartheta_0 \cos(\tilde{\omega} t) + \frac{\dot{\Delta \vartheta}_0}{\tilde{\omega}} \sin(\tilde{\omega} t).$$ (3.4.18)

Weiter ist

$$\dot{\varphi}=\frac{c_1}{\sin^2 \vartheta} \asy_{\Delta \vartheta... ...{R \cos \vartheta_s \sin \vartheta_s}} (1-2 \cot \vartheta_s \Delta \vartheta),$$ (3.4.19)

was sich unter Verwendung von (3.4.18) leicht integrieren läßt:

$$\varphi(t)=\varphi_0+\sqrt{\frac{g}{R \cos \vartheta_s \sin \vart... ...ta \vartheta_0}}{\tilde{\omega}^2} [\cos(\tilde{\omega} t)-1]\right ] \right \}$$ (3.4.20)

Das bedeutet, daß sich das Pendel auf einer Art Rosettenbahn bewegt. Die Bahn ist i.a. nicht geschlossen.

Die Projektion der Bahn des Pendels auf die $xy$ -Ebene. Als Anfangsbedingungen wurden gewählt $\dot{\varphi}_0=\dot{\vartheta}_0=0$ , $\delta \vartheta _0=\frac {\pi }{6}$ , $\delta \vartheta _0=0.05$ .