Exakte Lösung

Wir wollen nun zeigen, daß die Bewegungsgleichung des sphärischen Pendels ebenso wie die des ebenen mathematischen Pendels mit Hilfe von elliptischen Funktionen lösbar sind. Dazu gehen wir wie dort vom Energiesatz (3.4.6) aus. Wir definieren der Einfachheit halber jedoch zunächst

$$\pi_{\varphi}=\frac{p_{\varphi}}{m R^2}=\dot{\varphi} \sin^2 \var... ...rphi}^2}{\sin^2 \vartheta} + \dot{\vartheta}^2 - 2 \omega^2 (\cos \vartheta-1).$$ (3.4.21)

Wir wollen uns weiter mit dem einfach zu behandelnden Fall, daß $\dot{\vartheta}(0)=0$ ist, zufrieden geben.

Als erstes substituieren wir

$$u=\cos \vartheta, \; \dot{\vartheta}=-\frac{\dot{u}}{\sqrt{1-u^2}}.$$ (3.4.22)

Dies in (3.4.21) eingebracht und umgestellt liefert

$$\dot{u}^2=(u_0-u) \left [2 \omega^2 (1-u^2) + \frac{\pi_{\varphi}^2(u+u_0)}{1-u_0^2} \right] :=P(u).$$ (3.4.23)

Die rechte Seite ist ein Polynom 3. Grades $P(u)$ mit einer Nullstelle $u_0 \in [-1,1]$ . Der physikalische Bereich ist durch $u \in [-1,1]$ und $P(u)>0$ definiert.

Für unsere Anfangsbedingung muß es noch eine Nullstelle im physikalischen Bereich geben. Zwischen diesen beiden Nullstellen bewegt sich $u$ bzw. $\vartheta \in [0,\pi]$ . Mit zwei reellen Nullstellen muß auch die dritte Nullstelle des reellen Polynoms $P(u)$ reell sein. Sie liegt aber außerhalb des physikalischen Bereichs.

Wir können folglich (3.4.23) in der Gestalt

$$\dot{u}^2=2 \omega^2 (u_0-u)(u-u_1)(u-u_2)$$ (3.4.24)

schreiben. Mit den entsprechenden Anfangsbedingungen ergibt sich daraus

$$t=\frac{1}{\omega}\sqrt{\frac{2}{u_0-u_2}} \left \{ \left . \arcsin \left [ \sqrt{\frac{u_0-u}{u_0-u_1}} \right] \right\vert \frac{u_0-u_1}{u_0-u_2} \right \}$$ (3.4.25)

Aufgelöst nach $u$ finden wir schließlich

$$u(t)=u_0-(u_0-u_1) ^2 \left [ \left . \frac{\omega t \sqrt{u_0-u_2}}{\sqrt{2}} \right \vert \frac{u_0-u_1}{u_0-u_2} \right].$$ (3.4.26)

Dabei wurde die Funktion sn , der sogenannte sinus amplitudinus, als Abkürzung für

$$(x\vert m)=\sin (x\vert m)$$ (3.4.27)

eingeführt, wobei am wieder die bereits weiter oben eingeführte Jacobische Amplitudenfunktion
(3.3.19) ist.

Aus (3.4.21) ergibt sich dann $\varphi$ durch Integration. Hierfür existiert allerdings kein geschlossener analytischer Ausdruck in Gestalt einer bekannten elliptischen Funktion, wodurch wir auf die numerische Berechnung angewiesen sind. Diese Rechnung wurde wieder mit Hilfe von Mathematica 4.0 durchgeführt. Abbildung (3.8) zeigt ein exemplarisches Resultat für die Projektion der Bahnkurve auf die $xy$ -Ebene.

Die Projektion der Bahn des Pendels auf die $xy$ -Ebene. Als Anfangsbedingungen wurden gewählt $\dot{\vartheta}_0=0$ , $\vartheta _0=\pi /8$ , $\pi _{\varphi }=\omega /2$ , $\varphi =0$ .