Bewegung im Äquipotential-Paraboloiden

Wir wollen zunächst die Bewegung eines Massenpunktes auf einem Rotationsparaboloid betrachten, das so gewählt ist, daß ein Massenpunkt, der auf ihn ruhend hingelegt wird, stets auch in Ruhe bleibt, wenn das Paraboloid im homogen genäherten Schwerefeld in Rotation versetzt wird. Wir werden zunächst nachrechnen, daß diese rotierende ,,Äquipotentialfläche`` tatsächlich ein Rotationsparaboloid ist und dann die Bewegung des Massenpunktes auf demselben, also für einen mitrotierenden Beobachter, bestimmen.

Die Koordinaten im Inertialsystem seien mit $\bvec{x}$ bezeichnet. Lassen wir das Paraboloid in mathematisch positiver Richtung, also im Gegenuhrzeigersinn rotieren, gilt

$$\bvec{x}=\begin{pmatrix}r \cos(\varphi+\omega t)\ r \sin(\varphi+\omega t)\ f(r) \end{pmatrix},$$ (3.5.1)

wobei $r$ und $\varphi$ mitrotierende Polarkoordinaten sind. Die Rotation erfolgt um die $3$ -Achse. Hier ist $f$ die noch unbestimmte Funktion, die die Form des rotierenden Körpers bestimmt. Wegen $V=m g x^3$ ist also die Lagrangefunktion, ausgedrückt in mitrotierenden Koordinaten, durch

$$L=\frac{m}{2} \dot{\bvec{x}}^2-m g x^3 = \frac{m}{2} \{ \dot{r}^2 [1+f'{}^2(r)] + r^2 (\dot{\varphi}+\omega)^2 \} - m g f(r)$$ (3.5.2)

gegeben.

Wir wollen nun die Funktion $f$ so bestimmen, daß ein einmal in Ruhe auf die rotierende Fläche gesetzter Massenpunkt auch in Ruhe bleibt. Dazu schreiben wir die Bewegungsgleichungen für den Fall $r=$const , $\varphi=$const und erhalten die Bedingung

$$f'(r)=\frac{\omega^2}{g} r \Rightarrow f(r)=z_0+\frac{\omega^2}{2g} r^2.$$ (3.5.3)

Die gesuchte Äquipotentialfläche ist also ein Paraboloid. Die Integrationskonstante $z_0$ ist irrelevant, da sie zu der Lagrangedichte nur einen additiven konstanten Faktor beiträgt. Da $\varphi$ zyklisch ist, gilt

$$\frac{p_{\varphi}}{m}=l=\frac{\partial L}{\partial \dot{\varphi}} = r^2 (\dot{\varphi}+\omega)= .$$ (3.5.4)

Das bedeutet für $\dot{\varphi}_0=0$ und $r=$const , was durch Bestimmung von $f$ ja bereits sichergestellt ist, daß auch $\varphi=$const gilt, d.h. (3.5.3) erfüllt die an die Fläche gestellte Bedingung.

Für diese Funktion lautet die Bewegungsgleichung bzgl. $r$

$$\ddot{r} \left(1+\frac{r^2 \omega^4}{g^2} \right) + \dot{r}^2 \frac{r \omega^4}{g^2} = r (\dot{\varphi}^2+2 \dot{\varphi} \omega).$$ (3.5.5)

Wir betrachten zunächst einen Spezialfall. Wir nehmen dazu an, der Massenpunkt werde anfangs mit $\dot{\varphi}_0=-\omega$ angestoßen. Weiter nehmen wir an $r_0 \ll g^2/\omega^4$ und $\dot{r}_0=0$ . Dann können wir davon ausgehen, daß $r$ klein bleibt. Wir werden gleich sehen, daß das tatsächlich der Fall ist. Wir behandeln also $r$ und $\dot{r}$ in (3.5.5) als kleine Größen, so daß wir deren Quadrate vernachlässigen können. Aus (3.5.4) folgt $l=0$ und damit $\dot{\varphi}=-\omega =$   const . Die für diesen Fall in der beschriebenen Weise genäherte Bewegungsgleichung (3.5.5) lautet damit

$$\ddot{r} \approx -\omega^2 r.$$ (3.5.6)

Diese Gleichung besitzt die allgemeine Lösung

$$r(t) \approx r_0 \cos(\omega t+\alpha_0).$$ (3.5.7)

Ein mit der Scheibe bewegter Beobachter sieht also als Projektion der Bahn auf eine mit ihm rotierende Ebene senkrecht zur Rotationsachse also die folgende Bewegung

$$\bvec{x}'= r_0 \cos(\omega t+\alpha_0) \begin{pmatrix}\cos(-\omeg... ...(\alpha_0+2\omega t) \ \sin \alpha_0 - \sin(\alpha_0+2\omega t) \end{pmatrix}.$$ (3.5.8)

Die Projektion der Bahnkurve auf die mitrotierende Ebene ist also ein Kreis, dessen Mittelpunkt von der Drehachse verschoben ist und mit der gegenüber der Rotation doppelten Winkelgeschwindigkeit durchlaufen wird.

Die allgemeine Gleichung läßt sich über den Energiesatz, welcher hier wieder gilt, weil die Lagrangefunktion nicht explizit von der Zeit abhängt, auf ein elliptisches Integral zurückführen, was wir hier aber nicht weiter ausführen wollen.

Stattdessen geben wir die numerische Lösung für die soeben in der Näherung angegebene Bahnkurve, und zwar ein Beispiel, das der soeben gegebenen Näherung entspricht und eines mit einer allgemeineren Anfangsbedingung.

Die im Text beschriebene auf eine mitrotierende Ebene projizierte Bahnkurve für $\omega =3/$s , $g=9.81 \;$   m$/$s$^2$ . Die Anfangsbedingungen für die linke Figur sind $r_0=0.1 \;$   m , $\varphi _0=0$ , $\dot{r}_0=0$ , $\dot{\varphi}_0=-\omega$ . Offensichtlich ist dafür (3.5.8) eine gute Näherung. Für die rechte Figur wurde lediglich $r_0=1 \;$   m gesetzt, während die übrigen Anfangsbedingungen beibehalten wurden.