Die Kinematik des starren Körpers

Im folgenden seien $(O,\vec{e}_1,\vec{e}_2,\vec{e}_3)$ ein inertiales ,,raumfestes`` und $(O',\vec{e}_1',\vec{e}_2',\vec{e}_3')$ ein fest mit dem Körper verbundenes Bezugssystem. Zur Charakterisierung der Lage eines beliebigen Massenpunktes im Körper definieren wir die Vektoren $\vec{a}=\overrightarrow{OO'}$ und $\vec{r}_{\alpha}=\overrightarrow{O'P_{\alpha}}$ , wobei die $P_{\alpha}$ die Massenpunkte mit Massen $m_{\alpha}$ , aus denen wir uns den Körper zusammengesetzt denken, durchlaufen. Dann sind die Komponenten $\bvec{r}_{\alpha}'$ bzgl. des körperfesten Bezugssystems zeitlich konstant, während die Komponenten bzgl. des raumfesten Bezugssystems durch eine SO(3)-Matrix gegeben ist:

$$\op{r}_{\alpha}=\hat{D} \op{r}_{\alpha}'.$$ (3.6.1)

Wir können uns dabei $\hat{D}=\hat{D}(\psi,\vartheta,\varphi)$ durch die Eulerwinkel, die wir in Abschnitt 1.4.1 eingeführt haben, vorstellen. Davon werden wir aber erst weiter unten Gebrauch machen. Jedenfalls werden die Eulerwinkel als generalisierte Koordinaten der Bewegung unseres starren Körpers dienen. Für die Komponenten des Ortsvektors $\vec{x}_{\alpha}=\overrightarrow{OP_{\alpha}}$ gilt dann

$$\bvec{x}_{\alpha}=\bvec{a}+\bvec{r}_{\alpha}=\bvec{a}+\hat{D} \bvec{r}_{\alpha}'.$$ (3.6.2)

Die Lage eines beliebigen körperfesten Punktes ist also durch insgesamt sechs Parameter eindeutig bestimmt, nämlich durch die drei Komponenten des Ortsvektors $\vec{a}$ und die drei Eulerwinkel.

Die Geschwindigkeitskomponenten bzgl. des raumfesten Bezugssystems ergeben sich also zu

$$\dot{\bvec{x}}_{\alpha}=\dot{\bvec{a}}+\dot{\hat{D}} \underbrace{... ...}^t \bvec{r}_{\alpha}} = \dot{\bvec{a}} + \op{\omega} \times \bvec{r}_{\alpha},$$ (3.6.3)

wobei wir uns (1.4.37) bedient haben. Dabei bezeichnet $\op{\omega}$ die Komponenten der momentanen Winkelgeschwindigkeit des Körpers bzgl. des raumfesten Bezugssystems.

Wir berechnen nun die totale kinetische Energie des starren Körpers. Mit (3.6.3) erhalten wir

$$T=\sum_{\alpha} \frac{m_{\alpha}}{2} \dot{\bvec{x}}_{\alpha}^2 = ... ... \times \bvec{r}_{\alpha}) + (\op{\omega} \times \bvec{r}_{\alpha})^2 \right ].$$ (3.6.4)

Bezeichnen wir nun mit

$$M=\sum_{\alpha} m_{\alpha}, \quad \bvec{s}=\sum_{\alpha} \frac{m_{\alpha}}{M} \bvec{r}_{\alpha}$$ (3.6.5)

die Gesamtmasse des Körpers und die Komponenten des Vektors vom körperfesten Bezugspunkt $O'$ zum Schwerpunkt, können wir die kinetische Energie in der Form

$$T=\underbrace{\frac{M}{2} \dot{\bvec{a}}^2}_{T_{\text{trans}}}+ \... ...rbrace{\frac{1}{2} \bvec{\omega}^t \op{\Theta} \bvec{\omega}}_{T_{\text{rot}}}.$$ (3.6.6)

schreiben. Die kinetische Energie setzt sich also aus einem rein translatorischen Term zusammen, der die Verschiebung des Körpers als ganzes relativ zum Inertialsystem beschreibt, einem gemischten Term, der von der Rotation des Schwerpunktes um den körperfesten Bezugspunkt herrührt und der Rotationsenergie des Körpers. Der Trägheitstensor ergibt sich dabei durch Vergleich mit (3.6.4) wie folgt:

$$\begin{split}\bvec{\omega}^t \dyad{\Theta} \bvec{\omega} &= \... ..._{\alpha}^2 \delta_{jk}-r_{\alpha j} r_{\alpha k}]. \end{split}$$ (3.6.7)

Das bedeutet also für die Komponenten des Trägheitstensors

$$\Theta_{jk}=\sum_{\alpha} m_{\alpha} [\bvec{r}_{\alpha}^2 \delta_{jk}-r_{\alpha j} r_{\alpha k}].$$ (3.6.8)

In der Praxis ist diese Beschreibung allerdings kaum brauchbar Es ist einfacher, zu einer Kontinuumsbeschreibung des starren Körpers überzugehen. Dazu denkt man sich den Körper in kleine Volumenelemente eingeteilt, und die Massenverteilung durch die Massendichte $\varrho(\vec{r})$ beschrieben, d.h. durch die Masse in dem Volumenelement beim Ortsvektor $\vec{r}=\overrightarrow{O'P}$ pro Volumeneinheit. Dann können wir für (3.6.8) schreiben

$$\Theta_{jk}=\int_{V} \dd^3 \bvec{r} \varrho(\bvec{r}) [\bvec{r}^2 \delta_{jk}-r_{j} r_k].$$ (3.6.9)

Es ist wichtig, zu beachten, daß der Trägheitstensor von der Wahl des körperfesten Bezugspunktes $O'$ abhängt.

Die weitere Beschreibung der Bewegung wird auch sehr kompliziert, wenn wir die Komponenten des Trägheitstensors bzgl. des körperfesten Bezugssystems verwenden, denn diese hängen aufgrund der Drehung des Körpers gegen das Inertialsystem von der Zeit ab. Wir können aber den Rotationsanteil der kinetischen Energie auch in körperfesten Trägheitstensorkomponenten beschreiben, die konstant sind:

$$T_{\text{rot}}=\frac{1}{2} \bvec{\omega}'{}^t \op{\Theta}' \bvec{\omega}'.$$ (3.6.10)

Da $\op{\Theta}$ ein symmetrischer Tensor ist, können wir nach dem aus der linearen Algebra bekannten Satz von der Hauptachsentransformation das körperfeste Basissystem so wählen, daß die entsprechende Matrix diagonal wird:

$$\op{\Theta}'=\diag(A,B,C).$$ (3.6.11)