Freie Bewegung im homogenen Gravitationsfeld

Betrachten wir nun die Bewegung eines starren Körpers, der sich im homogenen Schwerefeld der Erde bewegt. Legen wir den körperfesten Bezugspunkt in den Schwerpunkt des Körpers, so gilt $\vec{s}=0$ , und (3.6.6) vereinfacht sich zu

$$T=\frac{M}{2} \dot{\bvec{a}}^2 + \frac{1}{2} \Theta_{jk}' \omega'{}^j \omega'{}^k.$$ (3.6.12)

Die potentielle Energie lautet

$$V=-\bvec{g} \sum_{\alpha} m_{\alpha} \bvec{x}_{\alpha}=-M \bvec{g}(\bvec{a}+\bvec{s})= -M \bvec{g} \bvec{a} = M g a^3,$$ (3.6.13)

wobei wir das raumfeste Koordinatensystem so orientiert haben, daß $\vec{g}=-g \vec{e}_3$ ist. Die Lagrangefunktion ist also durch

$$L=T-V=\frac{M}{2} \dot{\bvec{a}}^2 + \frac{1}{2} \Theta_{jk}' \omega'{}^j \omega'{}^k - M g a^3$$ (3.6.14)

gegeben. Wir denken uns $\op{\omega}'$ durch die Eulerwinkel und deren Zeitableitungen ausgedrückt. Der Rotationsterm in (3.6.14) hängt nun nicht von Koordinaten und Geschwindigkeiten der Schwerpunktskoordinaten $\bvec{a}$ ab, d.h. die Bewegungsgleichung für die Translationsbewegung separiert vollständig von der Rotationsbewegung des Körpers um seinen Schwerpunkt, d.h. die Schwerpunktskoordinaten genügen der Bewegungsgleichung eines einzelnen Massepunktes der Masse $M$ im homogenen Schwerefeld (entsprechend dem freien Fall bzw. schiefen Wurf):

$$\ddot{a}^1=\ddot{a}^2=0, \quad \ddot{a}^3=-g.$$ (3.6.15)

Wir können uns im folgenden also auf die Rotation des Körpers um seinen Schwerpunkt konzentrieren, die im gegebenen Falle so erfolgt, als würden auf den Körper gar keine Kräfte wirken.