Der kräftefreie Kreisel

Wir können uns diese Situation dadurch realisiert denken, daß wir den starren Körper in seinem Schwerpunkt so lagern, daß er um diesen Punkt frei rotieren kann. Bevor wir nun die Lagrangefunktion

$$L_{\text{rot}} = T_{\text{rot}} =\frac{1}{2} \Theta_{jk}' \omega'{}^j \omega'{}^k$$ (3.6.16)

in Eulerwinkeln ausschreiben und die Euler-Lagrangegleichungen betrachten, wollen wir den kräftefreien Kreisel noch mit Hilfe allgemeinerer Betrachtungen lösen. Offenbar ist das Problem rotationssymmetrisch um den Schwerpunkt, d.h. der Drehimpuls relativ zum Schwerpunkt ist erhalten. Wir wollen nun zeigen, daß wir daraus bereits Bewegungsgleichungen für die Komponenten $\bvec{\omega}'$ der momentanen Winkelgeschwindigkeit des Körpers bzgl. des körperfesten Bezugssystems gewinnen können.

Dazu schreiben wir zunächst den entsprechenden Gesamtdrehimpuls auf, den wir als Spin bezeichnen wollen. Den Drehimpulserhaltungssatz formulieren wir am besten zunächst über die raumfesten Komponenten:

$$\begin{split}\bvec{S} &=\sum_{\alpha} m_{\alpha} \bvec{r}_{\a... ...{\alpha} \bvec{\omega})] = \op{\Theta} \op{\omega}. \end{split}$$ (3.6.17)

Dabei haben wir (3.6.3) verwendet. Dies in körperfesten Koordinaten ausgedrückt liefert

$$\bvec{S}=\hat{D} (\op{\Theta}' \op{\omega}') \Rightarrow \d... ...\hat{D}} \op{\Theta}' \op{\omega}' + \hat{D} \op{\Theta}' \dot{\op{\omega}}'=0.$$ (3.6.18)

Den ersten Ausdruck formen wir nun wie folgt um

$$\dot{\hat{D}} \op{\Theta}' \op{\omega}'=\dot{\hat{D}} \hat{D}^t \... ...at{D}^t \op{\Theta} \op{\omega} = \op{\omega} \times (\op{\Theta} \op{\omega}).$$ (3.6.19)

Wir bemerken in dem Zusammenhang, daß sich die Komponenten des Trägheitstensors ihrer Indexstellung gemäß wie folgt kovariant transformieren:

$$\Theta_{jk}'={D^{j'}}_{j} {D^{k'}}_k \Theta_{j'k'}.$$ (3.6.20)

In Matrix-Vektorschreibweise folgt dies auch unmittelbar daraus, daß

$$\op{\omega}^t \op{\Theta} \op{\omega}=\op{\omega}' \underbrace{\hat{D}^t \op{\Theta} \hat{D}}_{\op{\Theta}'} \op{\omega}'$$ (3.6.21)

ist.

Dies in (3.6.18) eingesetzt liefert

$$\dot{\op{S}}=\hat{D} \op{\Theta}' \dot{\op{\omega}}'+ \op{\omega} \times (\op{\Theta} \op{\omega})=0.$$ (3.6.22)

Multiplizieren wir von links mit $\hat{D}^t$ , erhalten wir die Eulerschen Kreiselgleichungen für die Komponenten der Winkelgeschwindigkeit im körperfesten Bezugssystem:

$$\op{\Theta}' \dot{\op{\omega}}' =- \op{\omega}' \times (\op{\Theta}' \op{\omega}').$$ (3.6.23)

Wählen wir als körperfestes Bezugssystem ein Hauptachsensystem des Trägheitstensors, liefert dies in Komponenten aufgespalten das nichtlineare Differentialgleichungssystem

$$\begin{split}& A \dot{\omega}'{}^1=(B-C) \omega'{}^2 \omega'{... ... C \dot{\omega}'{}^3=(A-B) \omega'{}^1 \omega'{}^2. \end{split}$$ (3.6.24)