Gedämpfte freie Schwingung

Im Alltag werden wir solche freien ungedämpften Schwingungen selten zu beobachten sein, da stets eine mehr oder weniger stark ausgeprägte Reibung auftreten wird. Die Reibung ist dabei eine Kraft, die sich aus der Bewegung des Massenpunktes durch Kontakt mit der Umgebung ergibt. Mikroskopisch gesehen besteht die Materie aus einer großen Zahl von Atomen bzw. Molekülen, die sich in beständiger irregulärer Bewegung (Wärmebewegung) befinden. Darauf kommen wir später in diesem Manuskript noch sehr genau zu sprechen, wenn wir die Anfangsgründe der Statistischen Vielteilchenphysik behandeln. Die Reibung kommt nun dadurch zustande, daß unser betrachteter Körper mit den Molekülen der sie umgebenden Materie Stöße vollführt, wodurch zusätzliche Kräfte auf ihn einwirken. Hier beschränken wir uns auf eine phänomenologische Beschreibung, indem wir wir eine zur Geschwindigkeit proportionale Reibungskraft annehmen, was sich für nicht zu große Geschwindigkeiten als durch Beobachtungen gerechtfertigt erweist. Freilich wirkt diese Reibungs stets der Bewegung entgegen. Wir haben also außer den elastischen Kräften der Feder noch die Reibungskraft

$$F_r=-\gamma v=-\gamma \dot{x}$$ (1.2.16)

hinzuzufügen. Die Proportionalitätkonstante heißt Reibungskoeffizient. Die Bewegungsgleichung schreibt sich demnach nach einfachen Umformungen in der Form

$$\ddot{x}+2 \alpha \dot{x} + \omega_0^2 x=0 \quad \omega_0^2=\frac{D}{m}, \quad \alpha=\frac{\gamma}{2m}.$$ (1.2.17)

Den Faktor $2$ haben wir aus Bequemlichkeitsgründen für die folgenden Lösungen gewählt.

Wir versuchen wieder den Standardansatz (1.2.3). Setzen wir diesen in unsere neue Bewegungsgleichung ein, erhalten wir analog wie oben beim ungedämpften Fall als Bedingungsgleichung für $\lambda$

$$\lambda^2+2 \alpha \lambda+\omega_0^2=0.$$ (1.2.18)

Diese quadratische Gleichung besitzt nun i.a. zwei reelle oder zueinander konjugiert komplexe Lösungen

$$\lambda_{1,2}= \pm \sqrt{\alpha^2-\omega_0^2}-\alpha.$$ (1.2.19)

Nun müssen wir eine Fallunterscheidung durchführen