Nächste Seite: Der kräftefreie symmetrische Kreisel
Aufwärts: Elemente der Kreiseltheorie
Vorherige Seite: Der kräftefreie Kreisel
  Inhalt
Die Eulerschen Kreiselgleichungen (3.6.24) erweisen sich schon
im hier betrachteten kräftefreien Fall als kompliziert zu lösen. Wir
begnügen uns daher zunächst mit einer Stabilitätsbetrachtung
bzgl. der Drehung des Kreisels um eine der Hauptachsen. Wählen wir dazu
die
-Achse. Offensichtlich ist
const
,
eine Lösung der Gleichungen. Um diese auf
ihre Stabilität hin zu untersuche, betrachten wir kleine Störungen in
der Form
 |
(3.6.25) |
mit
und entwickeln (3.6.24)
bis zur linearen Ordnung in den Störungen:
 |
(3.6.26) |
Leiten wir die erste Gleichung nach der Zeit ab und setzen die zweite
Gleichung ein, erhalten wir
 |
(3.6.27) |
Die Lösung beschreibt eine Schwingung um
, falls
In diesem Fall ist die Rotation um die
-Achse offenbar stabil, denn
dann bleiben kleine Anfangsstörungen auch im Laufe der Zeit klein, und
unsere Näherung ist gültig, denn gemäß der ersten Gleichung in
(3.6.26) ist dann auch
eine kleine Schwingung. Falls
aber nicht eine der Bedingungen (3.6.29) zutrifft, besitzt die
Lösung einen exponentiellen Charakter, und die kleine Anfangsstörung
wird mit der Zeit schnell groß, d.h. dann ist die Rotation um die
-Achse nicht stabil, und unsere linearisierte Eulergleichung
(3.6.26) verliert ihre Gültigkeit. Die Drehung um die
-Achse ist also genau dann stabil, wenn die entsprechende
Hauptträgheitsachse zum maximalen oder minimalen
Hauptträgheitsmoment gehört. Falls ihr allerdings das mittlere
Hauptträgheitsmoment zuzuordnen ist, ist die Rotation um diese Achse
instabil. Wir wollen uns mit der allgemeinen kräftefreien
Kreiselbewegung nicht weiter befassen, sondern wenden uns gleich dem
geschlossen lösbaren Spezialfall des symmetrischen Kreisels
zu.
Nächste Seite: Der kräftefreie symmetrische Kreisel
Aufwärts: Elemente der Kreiseltheorie
Vorherige Seite: Der kräftefreie Kreisel
  Inhalt
FAQ Homepage