Stabilität bei Drehung um eine Hauptträgheitsachse

Die Eulerschen Kreiselgleichungen (3.6.24) erweisen sich schon im hier betrachteten kräftefreien Fall als kompliziert zu lösen. Wir begnügen uns daher zunächst mit einer Stabilitätsbetrachtung bzgl. der Drehung des Kreisels um eine der Hauptachsen. Wählen wir dazu die $3'$ -Achse. Offensichtlich ist $\omega'{}^3=\omega_0=$const , $\omega'{}^1=\omega'{}^2=0$ eine Lösung der Gleichungen. Um diese auf ihre Stabilität hin zu untersuche, betrachten wir kleine Störungen in der Form

$$\bvec{\omega}'=\begin{pmatrix}\alpha \ \beta \ \omega_0+\gamma \end{pmatrix}$$ (3.6.25)

mit $\alpha,\beta,\gamma \ll \omega_0$ und entwickeln (3.6.24) bis zur linearen Ordnung in den Störungen:

$$\begin{split}&A \dot{\alpha}=(B-C) \omega_0 \beta, \ &B \dot{\beta} =(C-A) \omega_0 \alpha,\ &C \dot{\gamma}=0. \end{split}$$ (3.6.26)

Leiten wir die erste Gleichung nach der Zeit ab und setzen die zweite Gleichung ein, erhalten wir

$$\ddot{\alpha}=\frac{(B-C)(C-A)}{AB} \omega_0 \alpha.$$ (3.6.27)

Die Lösung beschreibt eine Schwingung um $\alpha=0$ , falls

$$(B-C)(C-A)<0, \quad C<A, C<B \quad C>A C>B.$$ (3.6.28)

In diesem Fall ist die Rotation um die $3'$ -Achse offenbar stabil, denn dann bleiben kleine Anfangsstörungen auch im Laufe der Zeit klein, und unsere Näherung ist gültig, denn gemäß der ersten Gleichung in (3.6.26) ist dann auch $\beta$ eine kleine Schwingung. Falls aber nicht eine der Bedingungen (3.6.29) zutrifft, besitzt die Lösung einen exponentiellen Charakter, und die kleine Anfangsstörung wird mit der Zeit schnell groß, d.h. dann ist die Rotation um die $3'$ -Achse nicht stabil, und unsere linearisierte Eulergleichung (3.6.26) verliert ihre Gültigkeit. Die Drehung um die $3'$ -Achse ist also genau dann stabil, wenn die entsprechende Hauptträgheitsachse zum maximalen oder minimalen Hauptträgheitsmoment gehört. Falls ihr allerdings das mittlere Hauptträgheitsmoment zuzuordnen ist, ist die Rotation um diese Achse instabil. Wir wollen uns mit der allgemeinen kräftefreien Kreiselbewegung nicht weiter befassen, sondern wenden uns gleich dem geschlossen lösbaren Spezialfall des symmetrischen Kreisels zu.