Der kräftefreie symmetrische Kreisel

Wir nehmen nun an, die Massenverteilung des Körpers sei symmetrisch bzgl. Rotationen um die $3'$ -Achse. Dann ist $B=A$ aber $\C$ evtl. verschieden von $B=A$ . Dies bezeichnet man als einen symmetrischen Kreisel. Dann vereinfachen sich die Eulerschen Kreiselgleichungen (3.6.24) zu

$$\begin{split}&A \dot{\omega}'{}^1=(A-C) \omega'{}^3 \omega'{}... ...\omega'{}^3 \omega'{}^1, \ &C \dot{\omega}'{}^3=0. \end{split}$$ (3.6.29)

Der einfachste Fall liegt vor, wenn alle drei Hauptträgheitsmomente gleich sind, also wenn sogar $A=B=C$ gilt. Solche Kreisel bezeichnet man als Kugelkreisel. Der Kreiselkörper muß dabei allerdigns nicht notwendig Kugelgestalt besitzen. So ist z.B. auch ein homogener Würfel bei Rotation um seinen Schwerpunkt ein Kugelkreisel. Jedenfalls rotiert ein Kugelkreisel stets mit konstanter Winkelgeschwindigkeit um eine Achse durch den Schwerpunkt (jede Achse ist dann natürlich Hauptträgheitsachse).

Für den allgemeineren symmetrischen Kreisel mit $C\neq A$ , ist gemäß (3.6.29) die Winkelgeschwindigkeitskomponente bzgl. der Richtung der Symmetrieachse, also der Figurenachse $\vec{f}=\vec{e}_3'$ , zeitlich konstant, d.h.

$$\omega_3'=\omega_0= .$$ (3.6.30)

Die Gleichung für die beiden übrigen Komponenten vereinfachen sich daher zu einem linearen Differentialgleichungssystem, das man am bequemsten durch Zusammenfassung zu einer komplexen Zahl

$$z=\omega'{}^1+\ii \omega'{}^2$$ (3.6.31)

löst. Die ersten beiden Gleichungen in (3.6.29) ergeben dann

$$\dot{z}=\frac{\ii}{A} (C-A) \omega_0 z$$ (3.6.32)

mit der allgemeinen Lösung

$$z(t)=z_0 \exp \left [ \frac{\ii}{A} (C-A) \omega_0 t \right].$$ (3.6.33)

Wählen wir die Anfangsbedingung obdA. so, daß $z_0=\alpha_0\in \R$ ist, folgt also für die Komponenten der Winkelgeschwindigkeit bzgl. des körperfesten Systems

$$\op{\omega}'(t)=\begin{pmatrix}\alpha_0 \cos(\omega_1 t) \ \alpha_0 \sin(\omega_1 t) \ \omega_0 \end{pmatrix} \quad \omega_1=\frac{C-A}{A} \omega_0.$$ (3.6.34)

Für einen Beobachter, der relativ zum körperfesten Bezugssystem ruht, beschreibt also der momentane Winkelgeschwindigkeitsvektor einen Kreiskegel um die Figurenachse, wobei die Spitze dieses Vektors gleichförmig einen Kreis mit der Winkelgeschwindigkeit $\omega_1$ durchläuft. Diesen Kegel bezeichnet man als Gangpolkegel.

Wir wollen nun aber die Kegelbewegung bzgl. raumfester Koordinaten beschreiben, entspricht dies doch der Beobachtersituation der üblichen Hörsaalexperimente. Ein durch die Bewegung ausgezeichneter raumfester Vektor ist der Spin $\vec{S}$ . Seine körperfesten Komponenten sind vermöge (3.6.18) durch

$$\bvec{S}' = \op{\Theta} \op{\omega}'=\begin{pmatrix}A \alpha_0 \cos(\omega_1 t) \ A \alpha_0 \sin(\omega_1 t) \ C \omega_0 \end{pmatrix}$$ (3.6.35)

gegeben.

Zum kräftefreien symmetrischen Kreisel. Die drei Vektoren $\vec{J}$ , $\vec{\omega}$ und $\vec{f}$ befinden sich stets in einer Ebene, die bzgl. des raumfesten Bezugssystems um die zeitlich konstante Drehimpulsachse rotiert, d.h. $\vec{\omega}$ und $\vec{f}$ beschreiben gerade Kreiskegel um die Drehimpulsachse, die man als Rastpol- (blau) bzw. Nutationskegel (schwarz) bezeichnet. Zugleich rotiert $\vec{\omega}$ vom körperfesten Bezugssystem aus betrachtet auf dem Gangpolkegel (rot) um die Figurenachse. Je nachdem, ob die Hauptträgheitsmomente einer oblaten oder prolaten Kreiselform entsprechen, rollt also der Rastpolkegel auf dem Inneren bzw. Äußeren des Gangpolkegels ab.

Wir können daraus leicht die Bewegung der Figuren- und Winkelgeschwindigkeitsachse im raumfesten Bezugssystem ermitteln, indem wir entsprechende Invarianten bilden. Als erstes stellen wir fest, daß diese drei Achsen stets in einer Ebene liegen:

$$\bvec{f}'(\bvec{\omega}' \times \bvec{S}')=0.$$ (3.6.36)

Weiter ist die Projektion sowohl der Winkelgeschwindigkeit als auch der Figurenachse auf die Drehimpulsachse zeitlich konstant. Gleiches gilt für die Projektion der Winkelgeschwindigkeit auf die Figurenachse. Die entsprechenden Winkel ergeben sich zu

$$\begin{split}& \cos \angle(\vec{f},\vec{\omega})=\frac{\bvec{... ...a_0^2+\omega_0^2)(A^2 \alpha_0^2+C^2 \omega_0^2)}}. \end{split}$$ (3.6.37)

Es bewegen sich also sowohl die Figurenachse als auch die Winkelgeschwindigkeitsachse auf Kreiskegeln um die raumfeste Drehimpulsachse, wobei die Spitzen mit derselben Winkelgeschwindigkeit $\omega_1$ umlaufen, wie man den Komponenten im raumfesten System (3.6.34) bzw. (3.6.35) entnimmt. Diese Kegel sind in Abb. 3.10 abgebildet, und zwar für die beiden Fälle $C>A$ bzw. $C<A$ . Die entsprechenden Kreiselkörper kann man sich dabei durch homogene Rotationsellipsoide vorstellen, wobei die Symmetrieachse (also die Figuren Achse) entweder die kurze Achse ($C>A$ entsprechend einem oblaten Ellipsoid) oder die lange Achse ($C<A$ entsprechend einem prolaten Ellipsoid) ist. Der durch die Bewegung der Figurenachse um die Drehimpulsachse beschriebene Kreiskegel heißt Nutationskegel (in Abb. 3.10 schwarz eingezeichnet) und die entsprechende Bewegung Nutation (in der älteren Literatur oft auch als reguläre Präzession bezeichnet). Der durch $\vec{\omega}$ um $\vec{J}$ beschriebene Kegel heißt Rastpolkegel (blau). Gleichzeitig beschreibt die Winkelgeschwindigkeit $\vec{\omega}$ den schon oben besprochenen Gangpolkegel um die körperfeste Figurenachse (rot).

Wir nehmen nun an, die $3'$ -Achse sei so orientiert, daß $\omega_0>0$ ist. Dann sind die in (3.6.37) angegebenen Cosinus allesamt positiv, und die entsprechenden Winkel liegen allesamt im Intervall $[0,\pi/2]$ . Entsprechend befindet sich der Rastpolkegel für einen oblaten Kreisel im Inneren, für einen prolaten Kreisel im Äußeren des Gangpolkegels wie in der Figur (3.10) gezeigt, denn da der Cosinus im betrachteten Winkelintervall monoton fallend ist, gilt

$$\begin{split}C>A \quad\text{(oblat:)} \; & \Rightarrow \; \an... ...e(\vec{f},\vec{J}) > \angle (\vec{f},\vec{\omega}). \end{split}$$ (3.6.38)