Einführung der Eulerwinkel

Wir verwenden nun die in Abschnitt 1.4.1 eingeführten Eulerwinkel zur Beschreibung des Kreiselproblems. In Abb. 1.6 bedeuten nun wie schon weiter oben in diesem Abschnitt die $\vec{e}_j$ die körper- und die $\vec{e}_j'$ die raumfeste Cartesische Basis. Entsprechend beschreibt der Winkel $\psi$ die Drehung des Körpers um die raumfeste $3$ -Achse und $\varphi$ die um die körperfeste $3'$ -Achse. Wir wenden nun das Hamiltonsche Prinzip zur Herleitung der Bewegungsgleichungen für die Eulerwinkel an. Dazu berechnen wir zunächst die kinetische Rotationsenergie in (3.6.6). Dazu bedienen wir uns wieder Mathematica zur Bildung der Ableitungen und der Matrizenrechnungen. Zunächst ist gemäß (3.6.3)

$$\omega^i=\omega_i=-\frac{1}{2} \epsilon_{ijk} (\dot{\hat{D}} \hat{D}^t)^{jk}.$$ (3.6.39)

Daraus folgt nach Bilden der Ableitung und Ausführen der Matrizenoperationen

$$\op{\omega}=\begin{pmatrix}\dot{\vartheta} \cos \psi+\dot{\varphi... ...artheta \cos \varphi \ \dot{\varphi}+\dot{\psi} \cos{\vartheta} \end{pmatrix}.$$ (3.6.40)

Wir beschränken uns im folgenden wieder auf den Symmetrischen Kreisel. Dann ist

$$T_{\text{rot}}=\frac{1}{2} \op{\omega}'{}^t \op{\Theta}' \op{\ome... ... \right) + C \left (\dot{\varphi}+\dot{\psi} \cos \vartheta \right)^2 \right ].$$ (3.6.41)