Der Lagrangeformalismus für den freien symmetrischen Kreisel

Wir behandeln nun zur Illustration der Eulerwinkelparametrisierung nochmals den freien symmetrischen Kreisel aus Abschnitt 3.6.5 im Lagrangeformalismus. Dann ist

$$L=T_{\text{rot}}.$$ (3.6.42)

Aus (3.6.41) entnehmen wir, daß die Winkel $\psi$ und $\vartheta$ zyklische Variablen sind. Außerdem ist die Energie erhalten, da $L$ nicht explizit von der Zeit abhängt. Damit haben wir bereits drei erste Integrale:

$$p_{\psi}=\frac{\partial L}{\partial{\dot{\psi}}} = A \dot{\psi} \sin^2 \vartheta + C (\dot{\varphi}+\dot{\psi} \cos \vartheta) \cos \vartheta$$ (3.6.43)

$$p_{\varphi}=C(\dot{\varphi}+\dot{\psi} \cos \vartheta),$$ (3.6.44)

$$E=\frac{1}{2} \op{\omega}'{}^t \op{\Theta}' \op{\omega}' = \frac{... ...a}'{}^{-1} \bvec{S}'= \frac{1}{2A} (S'{}^1+S'{}^2)^2 + \frac{1}{2C} (S'{}^3)^2.$$ (3.6.45)

Wir könnten diese Gleichungen nun einfach integrieren. Dies würde aber zu einer recht komplizierten Beschreibung führen, da ja für unser kräftefreies Problem Rotationssymmetrie vorliegt und wir daher die Orientierung des raumfesten Basissystems frei wählen können. Wegen der Drehimpulserhaltung empfiehlt es sich, $\vec{e}_3$ in Richtung des Drehimpulses zu wählen, denn der Winkel $\psi$ beschreibt ja eine Drehung des Körpers um die raumfeste $3$ -Achse. Wir wollen aber die Erhaltung des Drehimpulses noch explizit zeigen. Man könnte dazu die Drehimpulskomponenten im körperfesten Bezugssystem und ihre Zeitableitungen berechnen und dann mit Hilfe der Euler-Lagrangegleichungen zeigen, daß diese in der Tat verschwinden. Dies ist aber eine recht mühsame Rechnung, die wir durch die folgende Analyse der drei Erhaltungssätze (3.6.43-3.6.45) stark abkürzen können:

Gl. (3.6.44) besagt, daß $S'{}^3=p_{\varphi}=$const . Dies ergibt sich auch aus dem Noethertheorem für die Symmetrie des Körpers unter Drehungen um die Figurenachse $\vec{f}=\vec{e}_3'$ nicht ändert. Aus dem Energiesatz (3.6.45) folgt daraus, daß auch $(S'{}^1+S'{}^2)$ erhalten sein muß, d.h. es ist $\Vert\vec{S}\Vert=$const . Weiter folgt aus

$$\bvec{S}=\hat{D} \bvec{S}',$$ (3.6.46)

daß $S^3=p_{\psi}=$const . Wählen wir also zum Anfangszeitpunkt $t=0$ das körperfeste Basissystem so, daß $\bvec{S}=(0,0,\Vert\vec{S}\Vert)^t$ , so bleibt diese Beziehung zu allen Zeiten bestehen. Es ist dann wegen

$$\bvec{S}'=\hat{D}^t \bvec{S}=\Vert\vec{S}\Vert \begin{pmatrix}\si... ...i \sin \vartheta \ \cos \varphi \sin \vartheta \ \cos \vartheta \end{pmatrix}$$ (3.6.47)

$S'{}^3=\Vert\vec{S}\Vert \cos \vartheta=p_{\varphi}=$const . Da, wie soeben gezeigt, $\Vert\vec{S}\Vert=$const ist, bedeutet dies $\vartheta=$const . Dies ist die schon in Abschnitt 3.6.5 hergeleitete Konstanz des Winkels zwischen der körperfesten Figuren- und der raumfesten Drehimpulsachse.

Die Gleichungen für die übrigen Winkel sind nun auch schnell gelöst. Dazu verwenden wir (3.6.44) in (3.6.43), um zunächst nach $\dot{\psi}$ aufzulösen:

$$\dot{\psi}=\frac{p_{\psi}-p_{\varphi} \cos \vartheta}{A \sin^2 \vartheta}:=\Omega_1= .$$ (3.6.48)

Das bedeutet, daß

$$\psi(t)=\Omega_1 t+\psi_0.$$ (3.6.49)

Die physikalische Bedeutung dieses Resultats ergibt sich durch Berechnung der Komponenten der Figurenachse bzgl. des raumfesten Systems

$$\bvec{f}=\hat{D} \bvec{f}'=\hat{D} \begin{pmatrix}0 \ 0 \ 1 \en... ...si \sin \vartheta \ -\cos \psi \sin \vartheta \ \cos \vartheta \end{pmatrix}.$$ (3.6.50)

Das bedeutet, daß vom raumfesten Bezugssystem aus betrachtet die Figurenachse einen Kreiskegel (den Nutationskegel) um die Drehimpulsachse beschreibt, wobei die Winkelgeschwindigkeit ihrer Projektion auf die $12$ -Ebene, die Nutationswinkelgeschwindigkeit, $\Omega_1$ beträgt.

Dies wiederum in (3.6.44) eingesetzt liefert

$$\dot{\varphi}=\frac{p_{\varphi}-\Omega_1 \cos \vartheta}{C}:=\Omega_2=$$ (3.6.51)

und somit

$$\varphi(t)=\Omega_2 t+ \varphi_0.$$ (3.6.52)

Die physikalische Bedeutung dieser Gleichung ergibt die Betrachtung der Winkelgeschwindigkeitskomponenten bzgl. des körperfesten Systems. Gl. (3.6.40) liest sich nämlich nun wegen $\dot{\vartheta}=0$ und (3.6.51) und (3.6.48) :

$$\op{\omega}=\begin{pmatrix}\Omega_2 \sin \psi \sin \vartheta \ -... ...\sin \vartheta \cos \varphi \ \Omega_2+\Omega_1 \cos{\vartheta} \end{pmatrix}.$$ (3.6.53)

Dies bedeutet, daß sich vom körperfesten Bezugssystem aus betrachtet die Winkelgeschwindigkeit auf einem Kreiskegel (dem Gangpolkegel) um die Figurenachse bewegt. Die Winkelgeschwindigkeit der Projektion auf die Ebene senkrecht zur Figurenachse ist $\Omega_2$ . Im körperfesten System aus gesehen, bewegt sich die Winkelgeschwindigkeitsachse auf dem Gangpolkegel um die Drehimpulsachse, und zwar mit derselben Winkelgeschwindigkeit $\Omega_1$ wie die Figurenachse den Nutationskegel beschreibt. Wie schon oben gesehen, liegen $\vec{J}$ , $\vec{f}$ und $\vec{\omega}$ stets in einer Ebene, die mit der Winkelgeschwindigkeit $\Omega_1$ um die zeitlich konstante Drehimpulsachse rotiert.

Wir stellen noch den Anschluß an die Bezeichnungsweise in Abschnitt 3.6.5 her. Vergleichen wir (3.6.53) mit (3.6.30), erhalten wir

$$\omega_0=\Omega_2+\Omega_1 \cos \vartheta.$$ (3.6.54)

Weiter gilt vermöge (3.6.34)

$$\omega_1=-\Omega_2=\frac{C-A}{A} \omega_0, \quad \alpha_0=\Omega_1 \sin \vartheta.$$ (3.6.55)

Die gleiche Phasenlage wie in (3.6.34) erreichen wir dabei durch die Wahl $\varphi_0=\pi/2$ . Verwenden wir die erste Gleichung in (3.6.55) in (3.6.54) erhalten wir noch

$$\omega_0=\frac{A}{C} \Omega_1 \cos \vartheta.$$ (3.6.56)